Équations différentielles du second ordre à coef réels sans second membre

[Hick_Jeck]

Bonjour à tous,
Quand j'ai une équation de la forme y'' + ;)² y = 0, les solutions sont de la forme f(t) = A.cos(;)t+;)) si ;)² > 0.

J'aurais besoin de votre lumière pour m'aider à retrouver cette expression à partir de la solution d'une équation différentielle du second ordre à coefficients réels de la forme y'' + ay' + by =0

Ce que j'ai fait :
si ;)² > 0, les racines de l'équation caractéristique sont complexes r1 = i;) et r2 = -i;). On a donc la solution est de la forme f(x) = ;).cos(i;)t)+;).sin(-i;)t)
Comme la fonction sin est impaire, on peut sortir le "-". f(x) = ;).cos(i;)t)-;).sin(i;)t).

Et là je suis bloqué. Merci d'avance :)
Hick_Jeck

[Arnaud-29-31]

Salut,

Comment définis-tu le cosinus ou le sinus d'un complexe ?

Je crois qu'il faut que tu relises ton cours.

[Ben314]

Salut,
Si tu veut retrouver "assez simplement" tes solutions, le plus simple est d'accepter de TOUT écrire en terme complexe :
Tu sait que, si r1 et r2 sont les racines réelles du polynome caractéristique de ton équation différentielle, alors les solutions à valeurs réelles sont de la forme t->A.exp(r1.t)+B.exp(r2.t) où A et B sont des constantes réelles.
Tout ce qu'il y a a savoir, c'est que dans le cas de racines complexes, c'est la même chose, mais tout les "réels" sont à remplacer par "complexe".

Dans le cas de y'' + ² y = 0 (avec réel non nul), on a donc :
Les racines complexes du polynôme caractéristique sont i;) et -i;) donc les solutions à valeurs complexes de ton équation sont de la forme t->A.exp(i;).t)+B.exp(i;).t) où A et B sont des constantes complexes.
Il te reste alors à voir, parmi ces solutions complexes, lesquelles sont en fait réelles.
Pour ce faire, tu écrit évidement que exp(i;).t)=cos(;).t)+i.sin(;).t) et exp(-i;).t)=cos(;).t)-i.sin(;).t) donc :
A.exp(i;).t)+B.exp(i;).t) = (A+B)cos(;).t)+i(A-B)sin(;).t) qui est une solution réelle lorsque les complexes A+B et i(A-B) sont en fait des réels, c'est à dire lorsque le conjugué de B vaut A.
Les solutions réelles sont donc les fonctions de la forme t->a.cos(;).t)+b.sin(;).t) avec a et b des constantes réelles.
Pour passer à la forme c.cos(;)t+;)) , il suffit d'écrire le couple (a,b) sous forme polaire :
a=c.cos(;)) et b=c.sin(;))