Approximation de l'exponentielle par les polynomes

[chnafon]

Bonjour.

Pour réaliser cette approximation, on s'intéresse à l'intégrale: http://www.noelshack.com/2014-17-1398167678-intmaths.jpg qu'on notera d(P).

Etant positive ou nulle, plus cette intégrale est petite, plus donc notre approximation est fine.

D'abord une question subsidiaire: soit a*x^n le monôme de plus haut degré de P, a-t-on P(t).dt sur [0,+oo[ = a*x^n.dt sur [0,+oo[ ? Je crois savoir que oui en considérant la fonction F(x) = P(t).dt sur [0,x] et un équivalent en +oo. A-t-on la même égalité avec cette fois comme argument P(t)exp(t) dont l'intégrale impropre serait équivalente à (a*x^n)exp(t).dt? Avec comme argument P(t)exp(Q(t)) en prenant Q(X) dans Rn[X] ?

La question principale étant: soit Un = Inf{d(P) | P;)Rn(X)}. Montrer que cette suite est monotone


Merci de vos réponses, cordialement.

[lionel52]

La question principale étant: soit Un = Inf{d(P) | P;)Rn(X)}. Montrer que cette suite est monotone

Tout simplement Rn est inclus dans Rn+1 !! Donc la borne inférieur sur Rn est plus grande que la borne inférieure sur Rn+1 !

[chnafon]

Haha j'ai honte, c'était tout bête. moi qui m'arrachait les cheveux! Merci. :)

[Ben314]

Salut,
Par contre, le reste de ce que tu raconte :

D'abord une question subsidiaire: soit a*x^n le monôme de plus haut degré de P, a-t-on P(t).dt sur [0,+oo[ = a*x^n.dt sur [0,+oo[ ? Je crois savoir que oui en considérant la fonction F(x) = P(t).dt sur [0,x] et un équivalent en +oo. A-t-on la même égalité avec cette fois comme argument P(t)exp(t) dont l'intégrale impropre serait équivalente à (a*x^n)exp(t).dt? Avec comme argument P(t)exp(Q(t)) en prenant Q(X) dans Rn[X] ?

c'est... pas terrible...
A part pour P=le polynôme nul, l'intégrale de 0 à +oo de P(t)dt, c'est très clairement divergent donc ce n'est égal à... rien du tout...
Idem pour ax^n.exp(t) dont l'intégrale sur [0,+oo] est... encore plus divergente... donc de nouveau égale à... rien du tout...