Probabilités approximation de la loi binomiale par une loi normale

[jsuisnulenmaths]

Un spot publicitaire touche à peu près 5 millions de foyers. Ce spot a coûté en réalisation 300 000 €. Pour cette campagne publicitaire on estime à 1/100 la probabilité qu'un foyer passe commande du produit promu.

a) On note X le nombre de commandes passées. Quelle est la loi binomiale suivie par X? En déduire que X suit approximativement une loi normale dont on précisera les paramètres.

b) Calculer la probabilité qu'il y ait bénéfice lorsque le prix de vente d'un produit - tous frais déduits - rapporte 60 € à l'entreprise. Même question en supposant un prix de vente de 61 €.

c) Quel devrait être le prix de vente minimal pour que la probabilité qu'il y ait bénéfice soit au moins égale à 99,9 %?

Voilà le sujet, j'aurais besoin d'aide pour savoir ce que je dois faire pour les trois questions car je n'arrive pas à démarrer. J'ai juste fait la a) et je n'en suis pas sûr.

a) Le nombre X de commandes passées suit la loi binomiale de paramètre n = 5 000 000 et p = 1/1000

P(X=k) = C(k;n) p^k (1-p)^(n-k)

P(X=k) = C(k;5000000) * (1/1000)^k * (1-1/1000)^(5000000-k)

On peut approcher la loi binomiale B(5000000;1/1000) par la loi normale de paramètres m = n * p soit m = 5 000 000 * 1/1000 = 5 000 et sigma = racine de m = racine de 5 000 = 70,7

Et après, je suis bloqué, vous en pensez quoi alors?

Merci d'avance.

[lirabo]

Pour B,

La moyenne de recette est de 60 * 5000 = 300000 donc comme la loi normale est symétrique, tu as 0.5 chance d'être au dessus et 0.5 d'être en dessous.
pour 61 euros*5000 = 305000, il faut considérer la loi centrée réduite :
N = (61X-305000)/(70.7*61) et dire que 61X doit être > 300000
donc N > 5000 / (70.7*61) = - 1.15
Ensuite utilise une table de la loi centrée réduite pour estimer la proba d'être au dessus de -1.15 (ou au dessous de 1.15)
Ca doit donner ~0.875

Pour C même raisonnement. On cherche d'abord dans la table la valeur de la loi normal correspondant à 0.999 et ensuite on calcul le V tq (V.X-V.5000)/(70.7*V) = ce seuil