Application affine

[wilfriedd]

Bonsoir à tous,
j'ai eu un contrôle cet après-midi et il y a 2 questions auquelles je n'ai pas sû répondre et ça m'énerve donc si quelqu'un pouvait m'aider ça serai sympa!
Je pose le problème:
Soit A,B,C et D 4 points d'un espace affine de dimension 3 qui ne sont pas dans un le même plan affine.
Soit f :M -> M' avec M=bar{(A,a),(B,b),(C,c),(D,d)}
et M'=bar{(A,d),(B,a),(C,b),(D,c)} avec a+b+c+d=1
J'ai prouver que f était affine, que l'image de A est B,celle de B est C, celle de C est D et celle de D est A. J'ai aussi trouver que G l'isobarycentre de A,B,C et D était un point fixe de f.
Les question sur lesquelles j'ai eu un souci sont les suivantes:
_Décrire le sous groupe engendré par f dans le groupe des bijections affines de E dans E. Quel est son cardinal?
-Montrer qu'il existe une droite affine D' telle que f(D')=D'

merci d'avance!!

[Joker62]

Alors soit H = < f >

Et soit g € H
Donc il existe k € N tel que g = fofo...of ( k fois )

Ensuite j'aurais étudier les cas selon k
si k congru à 0 modulo 4, alors on a g = Id ( car si on applique 4 fois f, on retombe sur le point de départ )
si k congru à 1 modulo 4, on a g = f
si k congru à 2 modulo 4, on a g = f²
Et si k congru à 3 modulo 4, on a g = f^3

Donc pour moi |H| = 4
Maintenant, j'ai pas caractériser H, donc bon.

[wilfriedd]

Tu es sûr de toi?
Je n'ai pas du tout commencé comme ça.
Merci quand même.

[Joker62]

C'est là façon dont j'vois la chose pour trouver le cardinal de H

H est le sous groupe engendré par f, donc c'est composé exclusivement des f^k = fofo...of ( k fois )

Et avec une distinction des restes de k modulo 4, on arrive à quelques chose de très naturel finalement

On voit juste qu'en fait, f transforme le quadruplet (a,b,c,d) en (d,a,b,c)

(a,b,c,d) -> f -> (d,a,b,c) -> f -> (c,d,a,b) -> f -> (b,c,d,a) -> f -> (a,b,c,d)

Tu l'as fait comment toi ;) ?

[wilfriedd]

D'accord, merci beaucoup!
Je croyais qu'il fallait trouver:
-> --> --->
f (GM)=k GM' avec M'=f(M)
Mais je me rend compte que je ne connaissais pas la définition d'un sous-groupe engendré par f. Tu es sûr de cette définition? Je ne l'a trouve pas mais je te fais confience. Merci encore.

[Joker62]

Tu fais pas de la théorie des groupes ???

Donc oui, moi j'suis sûr de ma définition en tout cas :^)