Anneau quotient isomorphisme

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
ptite-mary
Membre Naturel
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anneau quotient isomorphisme

par ptite-mary » 19 Juin 2007, 00:10

bonjour
comment puis-je montrer qu'il existe un isomorphisme de R[x]/(x²+x+1) dans C
merci



quinto
Membre Irrationnel
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par quinto » 19 Juin 2007, 00:12

Bonjour, tu peux montrer facilement que c'est un corps de dimension 2 sur R.

tize
Membre Complexe
Messages: 2385
Enregistré le: 16 Juin 2006, 21:52

par tize » 19 Juin 2007, 12:44

Bonjour,
tout à fait d'accord avec quinto, tu peux aussi le montrer (en posant en considérant l'homorphisme évaluation de dans : .
Il suffit alors d'appliquer un théorème d'isomorphisme en montrant que le noyau de (qui est un idéal principal) est .

bruce.ml
Membre Rationnel
Messages: 630
Enregistré le: 19 Juin 2007, 01:54

par bruce.ml » 19 Juin 2007, 13:05

Il faut tout de même prouver aussi que le morphisme d'évaluation est surjectif :)
J'ai pas voulu post cette solution, je trouve ça bien lourd comme outil pour un si petit problème.

kagoune
Membre Naturel
Messages: 78
Enregistré le: 08 Mai 2007, 12:43

par kagoune » 19 Juin 2007, 16:54

bonjour merci pour vos réponses
voici une réponse que j'ai faite.. est elle convenable

j'ai poser G : R[x] -> C qui a pas associe P(j)
G est un morphisme d'anneaux, c'est aussi un morphisme de R-espace vectoriel il est surjectif car G est une application linéaire et que i et 1 sont dans Im(G) avec (i,1) base du R espace vectoriel
Mais comme P est à coeficient réels s'il admet j comme racin,e, il admet aussi , conjugué de j
il est donc divisble par
(x-j)(x- ) = x²+x+1
et réciproquement tout polynôme multiple de x²+x+1 est dans le noyau
d'aprés le théorème d'isomorphisme on a le résultat cherché

et j'auais une autre question svp
j'ai un polynome P(x) =x^3+x+1,
j'ai montré qu'il possédait une racine réelle a, il faut que j'en déduise R[x]/(P) est isomorphe a R x C par le théoréme chinois pour R[x] mais je n'arrive pas a retranscrire le théorème chinois pour R[x]...

bruce.ml
Membre Rationnel
Messages: 630
Enregistré le: 19 Juin 2007, 01:54

par bruce.ml » 19 Juin 2007, 17:14

Le théorème chinoix est le même que pour Z :) généralement Z et R[X] c'est pareil.
Dans Z on a :
si p et q sont premiers entre eux. Et bien dans on a :

si P et Q sont premiers entre eux :)

kagoune
Membre Naturel
Messages: 78
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par kagoune » 19 Juin 2007, 17:32

merci beaucoup

 

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