Questions sur un anneau quotient

[ArtyB]

-Pour que f soit injectif il faut et suffit que Ker(f) soit réduit à l'élément neutre de G.
-Si G est abelien additif, alors G/Ker(f) est isomorphe à f(G) via l'application qui a x+Ker(f) associe f(x)

[Ben314]

-Si G est abelien additif, alors G/Ker(f) est isomorphe à f(G) via l'application qui a x+Ker(f) associe f(x) <= OUI !!!!

Et il n'est absolument pas utile que G soit abélien : de toute façon Ker(f) est forcément un sous groupe distingué de G (donc G/Ker(f) est un groupe) et le morphisme f se "factorise" systématiquement en un isomorphisme de G/Ker(f)->Im(f).
C'est ce qu'on appelle en général "le premier théorème d'isomorphisme" et évidement, on l'utilise dans quasi tout les trucs qui concernent les groupes.

Et ici, ça te dit quoi ?

[ArtyB]

Et beh j'apprends beaucoup plus en un post sur ce forum qu'en plusieurs jours à lire mon cours et faire mes exercices. Je ne me suis jamais mais alors jamais servi de ce théorème !
En revenant dans notre cas, cela nous dit que le groupe K*/Ker(f)=(x \in {-1, 1}) est isomorphe à f(K*)=H mais je ne vois toujours pas le rapport avec le cardinal

[Robot]

Essaie de réfléchir au lieu de dire systématiquement que tu ne vois pas le rapport.
Quel est le cardinal du quotient K*/{-1,1} ?
Si deux groupes sont isomorphes, que peut-on dire de leurs cardinaux ?

[ArtyB]

K*/{-1,1} est isomorphe à H et est donc de même cardinal que H.
K* est d'ordre 26, donc l'ordre de K*/{-1,1} (ie l'ordre de H) divise 26.
|K*/{-1,1}|=|K*|/|{-1,1}|=26/2=13
donc H est d'ordre 13.
C'est ça ?

[Robot]

Tu as fini par voir le rapport.

[ArtyB]

Oui, après une nuit à passer à relire mon cours, à le comprendre, à redémontrer, à prendre des exemples, à essayer d'appliquer mon cours je l'ai enfin compris !
Question suivante: 9) Montrer que a appartient à H. Pour le démontrer, il faut démontrer que a est un carré d'éléments de K*.
Puisque K* est cyclique, H est l'unique sous groupe d'ordre 13 de K*. Or a^13=1 donc a est bien un élément de H ?

[Robot]

En gros ça, préciser l'argument (tout repose en effet sur la cyclicité).

[ArtyB]

Comme K* est cyclique d'ordre 26, l'application qui a d associe Hd est une bijection entre l'ensemble des diviseurs positifs
de 26 et l'ensemble des sous-groupes de K*. En particulier, pour tout diviseur d de 26,
Hd est l'unique sous-groupe d'ordre d de K*. Donc H est l'unique sous groupe d'ordre 13 de de K*. Et H est l'ensemble des éléments x de K* qui vérifient x^13=1 (car l'élément neutre est 1) donc comme a^13=1, a appartient à H.

Là où j'ai du mal c'est pour résoudre l'équation Y²-a=0, ie Y²=a (où Y est en élément de K[Y]), comment trouver les racines dans K ?
Il faut trouver les éléments x de K qui vérifient x²=a, or on a a^13=1 donc a^14=a et on prend la racine carrée de a^14 ?

[Robot]

Laquelle ?

[ArtyB]

Je ne sais pas justement, c'est ce à quoi je suis arrivé en tatonant mais bon ça n'est pas concluant.
En fait je n'arrive pas à voir comment trouver les éléments x tels que x²=a.
Je sais que a appartient à H et donc que a est un carré et que les éléments x vérifiant x²=a se trouvent donc dans K* mais ensuite je bloque.

[Robot]

Ton idée était bonne, je voulais simplement te faire préciser les racines carrées de ! (L'une d'entre elles engendre ).

[ArtyB]

Au temps pour moi alors !
Un générateur de K* est un élément x de K* tel que l'ordre de x soit égal à l'ordre de K*, ie un élément x d'ordre 26.
Bon alors les racines de a^14 sont les x tels que x^2=a^14 mais là euh je sèche un peu, comment les trouver ?

[Robot]

Toujours pas bien réveillé ?

[ArtyB]

Ah si pour le coup, je suis bien réveillé. Mais je ne vois pas en quoi l'élément x de K* dont l'ordre est 26 est une racine de a^14.
K* étant composé des éléments d'ordre 1, 2, 13 et 26 on cherche un élément de l'un de ces ordres tel que son carré sont a^14.
Alors c'est peut être une évidence qui pend juste sous mon nez mais je ne la vois pas.
A part a^7 (car (a^7)^2=a^14=a) je ne vois pas trop quelles sont les autres racines de a^14, (-a^7) peut être ?

[Robot]

Je te laisse continuer.

[ArtyB]

En fait les deux seules racines possibles sont a^7 et -a^7=2a^7 car -1 congrue à 2 modulo 3. Ensuite il ne me reste qu'à exprimer leurs coordonnées dans B.

Question 11 montrer que 2a est un générateur de K*.
K* étant d'autre 26, il faut que (2a)^26 soit différent de 1, c'est bien ça ?

[Robot]

Non pour 11. Réfléchis avant d'écrire.

[ArtyB]

2a est générateur de K* si tout élément de K* peut s'écrire comme un multiple de 2a.
Si g est générateur de K*, alors g^(n/d) générateur de H avec n l'ordre de K* et d l'ordre de H.
Ici K* d'ordre 26, et H d'ordre 13 (n/d=2), donc si g^2 générateur de H, g est un générateur de K*.
En écrivant g sous la forme g=2a, si (2a)^2 est un générateur de H, alors 2a est un générateur de K*

[Ben314]

...si g^2 générateur de H, g est un générateur de K* <= FAUX

Il te faut une condition supplémentaire (et je te donne pas de contre exemple vu que tu en as un sous les yeux, à savoir g=...)

Sinon, une indication : tu ferais nettement mieux de garder -a plutôt que 2a vu que (-a)^n semble plus "sympathique" que (2a)^n...