ThSQ a écrit:Sinon l'homo non injectif est x + I -> x + J
Yep, le morphisme naturel.
Et il est non injectif car le noyau n'est pas réduit à 0 ( le zéro de A/I) , son noyau est simplement l'image de J par le morphisme canonique f: A-->A/I or
l'image f(J) = J/I est un idéal de A/I (car image d'un idéal par un morphisme d'anneaux
surjectif) n'est pas réduit à 0 ( = I/I).
Encore une fois la preuve direct est très simple si on connait le résultat suivant:
Un anneaux A est un corps si et seulement si ses seuls idéaux sont 0 et A lui même Un corps n'a que 2 idéaux , lui même et 0 : c'est clair tout élément non nul est inversible .
Inversement si A est un anneau qui n'a que 2 idéaux, on montre que tout élément non nul est inversible : soit x dans A non nul, on prends J= l'idéal engendré par x , il est non nul car (x est de dans et est non nul lol) donc il est par élimination (il y en a que 2 ) J = A et donc J contient 1= xy et x est inversible . Conclusion A est un corps
Pour revenir au fait suivant :
A/I corps si et seulement si I idéal maximal Il suffit alors de savoir ceci:
Avec le morphisme canonique f : A --> A/I
On a une bijection entre
{ les idéaux de A qui contiennent I} et { les idéaux de A/I ( en prenant leur image inverse par f)}
Avec ça tout est fait :
Si A/I est un corps , Si J est un idéal contenant I, alors J/I est un idéal de A/I qui est un corps , d'après ce qui précède J/I = A/I ou 0(=I//I) , en prenant l'image inverse par le morphisme canonique( qui est surjectif) de J/I, on obtient donc que soit J= A ou bien J = I , donc I maximal .
Inversement si I est maximal, par maximalité de I et avec la bijection citée plus haut , on voit aisément que A/I n'a que 2 idéaux 0= I/I et A/I lui même Conclusion A/I est un coprs.
Voilà je sais que la rédaction est longue et peut être elle peut paraître longue cette preuve mais je l'adore car elle est très abstraite.
