Questions sur un anneau quotient

[Robot]

2a est générateur de K* si tout élément de K* peut s'écrire comme un multiple de 2a.

Puissance, tu veux dire.

Je t'ai déjà dit qu'une des deux racines carrées de a engendrait . Laquelle ? (Bon, ça fait un autre générateur que celui qu'on te demande)

[ArtyB]

@Ben314: le contre exemple est pour g=2a^7 car (2a^7)^2 générateur de H mais 2a^7 n'est pas générateur de K*, car (2a^7)=2a^7 dans B (puisqu'on raisonne modulo 3). Mais quelle est la condition supplémentaire ? que d divise n ?

@Robot: La racine 2a^7 engendre K*

On utilise le fait que si x est un générateur de K*, alors l'ensemble des générateurs de K* est:
{x^k, 1<k<n, tel que PGCD(k,n)=1}
Et en prenant x=(2a)^7=2a^7 qui engendre K* pour k=7, on peut prendre k=1 et (2a)^1=2a, avec PGCD(1,26)=1 donc 2a est un générateur de K*

[Robot]

@Ben314: ... mais 2a^7 n'est pas générateur de K*,
@Robot: La racine 2a^7 engendre K*

Faudrait savoir ! Ca dépend de la personne à qui on s'adresse ?
Un conseil : relis soigneusement tes posts avant de les envoyer.

[ArtyB]

Oh mon dieu, merci bien Robot, c'est risible là.
J'ai répondu quelque chose puis après j'ai modifié une partie...
Je choisis l'option 2, 2a^7 engendre K*. Le contre-exemple est pour g=a^7.

[Ben314]

Le "contre exemple" auquel je pensait, c'était plutôt g=a : g²=a² est dans H et c'est un générateur de H (vu qu'il est pas d'ordre 1, il est forcément d'ordre 13) or tu sait très bien que a n'est pas générateur de G vu qu'il est dans H (donc d'ordre 13 et pas 26).

Sinon, pour savoir si 2a=-a est générateur (ou pas) de G, ça te viendrait pas à l'esprit de regarder quel ordre il a (ordre qui ne peut être égal qu'à 1,2,13 ou 26...)

[ArtyB]

Ah oui contre exemple beaucoup plus simple.

Pour l'ordre:
(-a)^1=-a=-1(mod3)
(-a)^2=a^2=1(mod3)
Donc 2a=-a est d'ordre 2 donc c'est un générateur de K*, c'est ça ?

[Ben314]

Il faudrait effectivement que tu suive les conseils de Robot et que tu relise un peu ce que tu écrit avant de taper sur "Envoyer" :
- Est ce que tu crois vraiment qu'un élément d'ordre 2 peut engendrer un groupe d'ordre 26 ?
- Où est tu donc allé pêcher que a²=1 ? (je te rappelle que tu as écrit toi même que (1,a,a²) est une base de K sur le corps F3)
- Quel sens donne tu a tes symboles "mod 3" qui suivent des égalités entre éléments de K ? (je te signale que, dans K, 3=0 et que , ce n'est pas du tout un élément de Z)

[ArtyB]

Non, en effet, tu as raison.
Le sens de ma notation a=b(mod 3) c'est que a congrue à b modulo 3 et que donc a=b lorsque l'on raisonne modulo 3.

Voilà ce que j'ai finalement fait:
un élément x engendre K* (d'ordre 26) si l'ordre de x est 26.
En notant x=2a, on a:
(2a)^26=a^26=(a^13)^2=1^2=1 (mod 3) car a^13=1 (mod 3) d'après la question 7
Donc 2a engendre bien K*
(je pense qu'il me manque des conditions à vérifier)

12) On cherche le plus petit entier naturel n tel que (2a)^n =a^2
On a (2a)^2=4a^2=a^2 (mod 3) donc le plus petit entier n est n=2

[Robot]

Tu as montré que 2a est d'ordre un diviseur de 26, ce qu'on savait déjà car K* est d'ordre 26.

Comme disait Ben314 :

Sinon, pour savoir si 2a=-a est générateur (ou pas) de G, ça te viendrait pas à l'esprit de regarder quel ordre il a (ordre qui ne peut être égal qu'à 1,2,13 ou 26...)

[ArtyB]

Puisque (2a)^26=1 dans K*, alors 2a est d'ordre 26 dans K* non ? (comme ce que j'ai fait précédemment pour la question 7 pour a^13

[Robot]

Non, je répète : tu ne montres que le fait que 2a est d'ordre un diviseur de 26.
Revois la définition de l'ordre d'un élément.

[ArtyB]

Soit n l'ordre de 2a, il est égal au nombre d'éléments de <2a>={e,2a,(2a)²,...,(2a)^(n-1)}

[Ben314]

Rappel :
L'ordre d'un élément d'un groupe (multiplicatif) , c'est effectivement l'ordre du sous groupe engendré par mais c'est aussi (surtout ?) le plus petit entier naturel non nul tel que .
Donc de vérifier que , ça ne prouve évidement pas que que est d'ordre (par contre on prouve aisément que l'ordre de divise )

Donc ton , il prouve que l'ordre de divise 26 et ça sert absolument à rien vu que, comme K* est d'ordre 26, tout les éléments de K* sans exception ont un ordre qui divise 26.

Donc, ce qu'il faut écrire, c'est que :
(rappel : (1,a,a²) est une base donc x+ya+za²=x'+y'a+z'a² ssi x=x', y=y', z=z' dans F3)


Donc n'est ni d'ordre 1, ni 2, ni 13 donc il est d'ordre 26 (et ça sert à rien de calculer qui, comme tout les autres avec x dans K* est forcément égal à 1)


Si tu veut mon avis, ça serait pas du luxe que tu te (re)fasse une petite planche d'exercices sur les groupes/sous-groupes/quotients-de-groupes histoire de (re)trouver les bon réflexes avant de faire des trucs sur des quotients plus compliqués.

[ArtyB]

Merci beaucoup Ben314, je n'avais pas écrit que cela devait être le plus petit ordre.
Comme j'avais calculé que pour m=1,2,13 n'était pas égal à 1 j'en avais déduit que c'était forcément 26. Mais je n'avais pas cité la condition de "plus petit" en effet, merci à toi !
Oui je crois bien qu'il faut, j'ai un peu de mal à apprendre les mathématiques tout seul, c'était plus simple avec un professeur en fait pour comprendre le cours et acquérir des méthodes de résolution et réflexes (par les exercices).