Questions sur un anneau quotient

[ArtyB]

Bonjour,

Soit K l'anneau quotient (NB: ici K est aussi un corps car P(X) est irréductible) et la classe d'un élément X modulo P(X) et B une base du -espace vectoriel K, .

J'ai réussi à démontrer que:
1) K est un corps
2) La caractéristique de K est la même que celle de , ie 3 et son cardinal est
3) L'ordre de K* est 27-1=26 et les ordres possibles sont 1, 2, 13 et 26.
4) Les coordonnées de dans B sont (0,0,1)
5) On a de coordonnées (0,1,2)
6) On a les coordonnées de dans K*: (1,0,0) soit d'ordre 13

Mais je bloque ici:

Soit H le sous groupe de K* dont les éléments sont de la forme où ,
Comment trouver l'ordre de H ?
Comment montrer que appartient bien a H ?
Comment trouver les racines dans K du polynôme de K[Y] ?
Comment montrer que est un générateur de K* ?
Comment trouver le plus petit entier naturel n tel que que ?

J'ai beau avoir lu pas mal de cours et d'exercices sur le sujet, j'ai toujours un peu de mal à cerner la méthode pour démontrer tout ça. Si certains d'entre vous sont prêts à me donner des conseils ou indices, je suis preneur !

Merci à vous,

Cordialement,

Arty

EDIT après le message de Robot pointant les différentes erreurs de mon post

[Robot]

Ce que tu écris n'a pas de sens. F_3 est le corps à 3 éléments ?
F_3/P : P n'est pas un élément de F_3
B base de F_3 : aucun sens
Reprends ton message

[ArtyB]

En effet, merci Robot, j'ai modifié mon message suite tes remarques montrant le non sens de mon post initial

[Robot]

?
Peux-tu clarifier ?

Par ailleurs n'est certainement pas d'ordre 1. Dans un groupe, il n'y a que l'élément neutre qui est d'ordre 1.

[ArtyB]

Pour H , tout ce que j'ai c'est:
"Soit H le sous groupe de K* dont les éléments sont de la forme où " ce qui peut à mon avis se réécrire comme tu l'as fait oui.

Pour l'ordre de a, mea culpa, en effet ses coordonnées dans B sont (1,0,0) et il est d'ordre 13.

[Robot]

Tu as modifié le message initial.
"Soit H un sous-groupe dont les éléments sont de la forme .."
n'est pas la même chose que
"Soit H le sous-groupe .."
C'était le sens de ma question.
Fais attention à la précision de ton expression !

Une façon d'aborder ton problème est de considérer le morphisme du groupe multiplicatif dans lui-même. Quel est son noyau ?
Par ailleurs tu sais sans doute que le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique, et tu sais aussi que est d'ordre 13. Pas trop dur d'en déduire que est un carré.

[ArtyB]

Oui, au temps pour moi, je l'ai réalisé et ai édité mon post en conséquence.

Soit f l'application qui a x de K* associe x² dans dans lui même, son noyau Ker(f) est composé des éléments x tel que f(x) donne l'élément neutre de K* soit x=1 (car f(1)=1²=1). C'est bien ça ?

"le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique" oui mais quel impact ici ?

[Robot]

Tu n'as pas assez réfléchi à tes réponses.

[ArtyB]

C'est possible oui, mais je n'arrive pas à voir en quoi le noyau m'aide à trouver l'ordre.

[Robot]

Ta réponse sur le noyau est incorrecte.
Ne vois-tu pas de rapport entre et le morphisme ?

[ArtyB]

Soit f de G dans G' un homomorphisme de groupes. On appelle image de
f le sous-groupe f(G) de G'. On appelle noyau de f le sous-groupe de G(ou e' est l'element neutre de G').
On a donc

Ici il suffit de remplacer G' par G pour avoir le morphisme dans G lui même.
L'élément neutre de K est 1, donc n cherche tous les x tels que f(x)=x²=1, c'est à dire 1 ou -1 (j'avais oublié le -1 alors, je ne sais pas si c'est cela qui rendait ma réponse incorrecte).

Et j'ai beau voir le rapport entre le morphisme et H, je ne vois pas en quoi trouver le noyau du morphisme permet de trouver l'ordre de H.

[Robot]

Tu ne connais rien sur le rapport entre le cardinal de G, celui de f(G) et celui de ker(f) ?
Je suis sûr que c'est dans tes cours !

[ArtyB]

Je ne vois vraiment pas, je n'ai rien trouvé qui puisse mettre en rapport le noyau d'un morphisme avec le cardinal.
Je sais juste que le cardinal d'un sous groupe H de K doit diviser celui de K donc que le cardinal de H est soit 1, 2, 13 ou 26.

[Robot]

Bah bah bah...
Tu en es aux anneaux quotients, mais tu n'as rien dans ton cours sur les groupes quotients ?

[ArtyB]

Ah si si j'en ai des choses mais je ne vois aucune relation entre noyau et cardinal.
Je peux te lister toutes mes propriétés et théorèmes si tu veux vérifier hein mais bon.
Si l'on note |X| le cardinal de X alors j'ai |K|=|H|x|K/H| mais bon je ne vois pas le rapport avec le noyau.

[Robot]

je ne vois pas le rapport avec le noyau

M'enfin ???
Tu ne vois pas le rapport entre le noyau d'un morphisme de groupe et un sous-groupe distingué, ni le rapport entre l'image d'un morphisme de groupe et un groupe quotient.
Le cours sur les groupes ne semble pas très bien assimilé ... ou alors très bien oublié !

[ArtyB]

K/H n'est pas le noyau du morphisme si ?
Puisque le noyau du morphisme est constitué de tous les éléments x de K qui vérifient que f(x)=e' où e' est l'élément neutre de H.
K/H est juste l'ensemble des classes à gauche des éléments de K modulo H ie l'ensemble quotient à gauche de H modulo H.

[Ben314]

Revenons au B-A-BA :
Quand tu as un morphisme de groupe f:G->G', tu ne connaitrait pas une relation ESSENTIELLE qu'on a entre im(f) et ker(f) ?

Sinon, tu as pas l'impression que ça serait un soupons plus pratique d'écrire par exemple que plutôt que "Les coordonnées de dans B sont (0,0,1)" ?

[ArtyB]

On a
Im(f)=f(G) sous groupe de G'
et
Ker(f)=f^-1({e'}) sous groupe de G mais c'est tout ce que j'ai sur Ker et Im dans mon cours sur les groupes (avec des propriétés d'injection et d'isomorphisme).
(Ta question me fait penser aux notions de dimensions pour les espaces vectoriels avec dim(Kerf)+dim(Imf)=dim(E) mais je n'ai jamais vu ça dans le cas des groupes)

[Robot]

avec des propriétés d'injection et d'isomorphisme)

Quelles sont ces propriétés ?