Pb d'analyse complexe

[luke]

Bonjour,

je cherche une demonstration de l'inegalite suivante :

pour p complexe a partie reelle positive



Geometriquement, on "voit" que la fonction est inscrite dans le cercle de rayon 3/4 de centre 1/4

merci

Luke

[tize]

Salut,
je ne sais pas quel est la marche à suivre pour ce genre de problème (et j'ai souvent tendance à me dire: pourquoi la variable n'est pas réelle ?) mais voilà un début :
première remarque :
Si P est le demi plan des complexes à partie réelle positive alors l'image de P par est le disque unité. et donc l'inégalité cherchée est donc vraie dès que reste à voir que cela est vrai aussi pour |p|<4 et p dans P. Or on a une fonction complexe qui doit donc atteindre son maximum (en module) sur le bord du demi disque. Sur le demi cercle on sait déjà que la fonction est inférieur (en module) à 3/4 reste à trouver le maximum sur le segment [-4i ; 4i ]. i.e. le maximum pour |y|<4 de . Je me suis dit que ça ne devait pas être trop dur...mais j'ai pas fait...
Bon courage pour la suite.

[mathelot]

Bonsoir,

autre démo.

Dans , il n'y a plus de théorème des accroissements finis mais subsiste une inégalité des accroissement finis.



est un "taux d'accroissement" d'une fonction holomorphe.
D'où si



d'où appartient au disque unité fermé
pour .

L'inégalité en découle car la distance de à est plus petite que

[luke]

Rebonjour,

Merci pour les demos.

J'ai bien compris que etait de module inférieur à 1.
Par contre, je ne vois pas pourquoi cela implique que l'inégalité recherchée est vraie.

A bientôt,
Luke

[mathelot]

Par contre, je ne vois pas pourquoi cela implique que l'inégalité recherchée est vraie.

tu as raison. j'ai écrit des bêtises. L'exercice n'est pas facile :hum:

les choses sûres pour l'instant:

appartient au disque unité et aussi.

peut être pourrait on utiliser une différence finie d'ordre 2 ?
(un taux d'accroissement de taux d'acroissements) ou
une majoration du théorème des accroissements finis
sur un segment tp pour et puisque le disque est convexe ?

[luke]

Je vais essayer d'utiliser un ordre 2 et ceci d'autant plus que le cercle de centre 1/4 et de rayon 3/4 est aussi le cercle osculateur de la courbe

au point w=0.


Comme le propose tize, comme la fonction est holomorphe, peut-etre faut-il considerer l'axe des imaginaires seulement, droite pour laquelle la fonction atteint son maximum.


Luke

[mathelot]

j'ai regardé pour p=x réel positif.
Le module de

est décroissant de vers zéro quand

oui, relis ce qu'a écrit Tize, c'est nickel. Il a utilisé le principe du maximum
pour une fonction holomorphe et a ramené le problème
à l'étude toute simple d'une fonction à variable réelle y sur le segment [-4;4].

[luke]

En fait, la methode de tize conduit a l'analyse d'une fonction un peu complique , non?
on cherche le module d'une fonction complexe (présence de l'exponentielle complexe).


Luke

[mathelot]

Sur le demi cercle on sait déjà que la fonction est inférieur (en module) à 3/4 reste à trouver le maximum sur le segment [-4i ; 4i ]. i.e. le maximum pour |y|<4 de

je commence les calculs avec la formule complexe:




l'inégalité équivaut à




vérification à la calculatrice , c'est ok. Pas étonnant que l'exercice
soit difficile: le contact en zéro a l'air d'être d'ordre 4.