Analyse complexe 2

[nemesis]

bonsoir
encore un peu de nombre comlexes :
1) je dois ,en etudiant les racines de l'equation m=2,3,...,montrer que

2)montrer que est harmonique et determiner v tel que f(z)u + iv soit analytique

merci d'avance

[Nightmare]

As-tu étudié les racines néme de l'unité?

[nemesis]

oui je trouve que les racine sont donné par

[Nightmare]

Oui.

Ne vois-tu pas un rapport entre ces racines et le produit qu'il t'est demandé de calculer?

[nemesis]

je sais que et aprés ?

[Joker62]

Produit de k=1 à m-1 des parties imaginaires de exp(i.k.pi/n)

Après ça se simplifie.

[nemesis]

c'est bon pour la premiere
et pour la deux ,une idée ?

[yos]

Bonjour.
Il me semble que la deuxième question c'est du cours. Cela dit, on connait pas f(z) donc on peut pas t'aider.
tu as su faire la première, avec (ou malgré) les indications?

[Franck75019]

Essayes de calculer le Laplacien de u. S'il est égal à 0 u est harmonique.
ensuite tu dois utiliser les conditions de Cauchy, c'est dans ton cours normalement. :lol4:

[BiZi]

Produit de k=1 à m-1 des parties imaginaires de exp(i.k.pi/n)

Après ça se simplifie.

Euh je ne comprends pas comment on en déduit l'égalité? Im(a*b) n'est pas égal à Im(a)*Im(b)?

[tize]

...tu as su faire la première, avec (ou malgré) les indications?

Pour ma part je ne sais malheureusement pas résoudre ce problème 1) avec les indications proposées mais je suis preneur.
Sinon voici ce que je propose:
On pose , on a alors :

Il est assez facile de voir que ce produit correspond au produit des racines du polynôme : et les relations coefficients racines nous donnent alors : , puis en remplçant les par on trouve facilement l'égalité demandée à savoir :

[yos]

Salut Tize.
Tu confirmes mon jugement. Cela dit peut-être qu'on a raté quelquechose. Si on pouvait nous éclairer...

Pour ma part, j'ai fait la dérivée de au point 1 et le résultat en découle avec le même calcul que tu as fait au départ.