Analyse Complexe

[Simpi]

Bonjour, j'ai besoin de piste pour cet exo:
soit .
Verifiez sur si verifie les conditions de Cauchy-Riemann.

j'ai voulu appliqué les conditions de Cauchy-Riemann mais je tombe sur des calculs très compliqués. Est ce que quelqu'un aurait une methode beaucoup plus simple à me proposer.

[anthony_unac]

Bonjour,
Allez y ! Proposez toujours vos calculs très compliqués histoire de voir ou ça cloche
Peut être même pourriez vous présenter votre raisonnement avant tout.

[Skullkid]

Bonjour, normalement tu as dû voir qu'une formulation possible des équations de Cauchy-Riemann est . Sous cette forme tu n'as pas besoin de calculer explicitement les parties réelles et imaginaires de f.

[Simpi]

Bonjour,
j'ai appliqué la methode proposée par Skullkid et voici ce que j'obtient:
Posons on a pour
et

finalement c'est plutôt

que je trouve au lieu de

[anthony_unac]

Bonjour,
votre calcul semble exact
Mais respectez vous toutes les conditions :

Théorème —

Pour que la fonction f soit ℂ-différentiable en un point (où sont réels), il faut et il suffit :
qu'elle soit différentiable au sens réel en ;
et que, de plus, elle vérifie les équations de Cauchy-Riemann en ce point. Ces équations peuvent s'écrire sous les formes équivalentes suivantes :

et

[Skullkid]

Bonjour,
j'ai appliqué la methode proposée par Skullkid et voici ce que j'obtient:
Posons on a pour
et

finalement c'est plutôt

que je trouve au lieu de

Tes calculs sont corrects, et c'est bien que tu trouves !

Reste à vérifier les conditions en 0.

[Simpi]

]

Tes calculs sont corrects, et c'est bien que tu trouves !

Reste à vérifier les conditions en 0.

c'est plutôt que je trouve. Est-ce normal? car ceci ne permet pas de dire que verifie les conditions de Riemann

[Lostounet]

Il me semble (j'ai pas vu le détail des calculs) que c'est THE function qu'on donne comme contre exemple de C infini et pas Edit: analytique sur R

[Ben314]

Salut,
La fonction en question (ainsi que z-> exp(-1/z^2)) est effectivement C^oo sur R et non développable en série entière en 0 où toutes les dérivées sont nulles.
Mais ça n'a rien à voir avec les condition de Cauchy vu... que justement on est dans R !!!

Et par contre, si tu regarde la fonction en question (ainsi que z->exp(-1/z^2)) sur C, ben c'est vite vu : elle n'est pas prolongeable par continuité en 0 vu que lorsque z (complexe) tend vers 0, le complexe -1/z^4 ne tend absolument par vers -oo (réel) mais vers "l'infini complexe" et en choisissant un chemin particulier pour z (qui tend vers 0) on peut parfaitement avoir -1/z^4 qui reste réel et qui tend vers +oo (rappel : C est algébriquement clos donc z^4=? admet forcément des solutions)
Et évidement, n'étant pas continue en 0, la question de savoir si elle vérifie les conditions de Cauchy en 0 ne se pose même pas (pas continue => pas différentiable)

[Lostounet]

Ok sorry grosse confusion de ma part! (J'ai edit mon message du coup) En plus je me suis posé la question car j'ai montré que toutes les dérivées sont nulles et que ben vu qu'elle est pas nulle..

Enfin une question: si on travaille dans C^ (le compactifié) ...ça changeait quoi déjà au fait de pouvoir faire un DS en série de Laurent. Ici on fait apparaitre une singularité essentielle?

Du coup j'ai oublié l'intérêt de la question... à quoi ça peut bien servir de poser la question de voir si elle vérifie les équations de Cauchy Riemann ...xD vu qu'elle est incorrigible en 0.

Attendez que je comprenne... alors cette fonction sur R elle est de classe C infini (et pas analytique) et sur C elle est même pas continue en 0... donc non analytique. Du coup pourquoi on ne peut pas juste regarde son analyticité réelle et conclure sur le fait qu'elle soit pas analytique sur C.. et Donc pas de Cauchy Riemann ? Ça suffit pas comme justification sans calculs? Comment faire le lien..

[Skullkid]

Ben là en l'occurrence l'exercice demande de vérifier si oui ou non f satisfait les équations de Cauchy-Riemann, et il se trouve qu'elle les satisfait, y compris en 0. Par contre, évidemment, elle n'est pas R-différentiable en 0 (puisque même pas continue) et donc on ne peut pas appliquer le théorème "R-différentiable + Cauchy-Riemann = C-différentiable". Certes, "dans la vraie vie" si on en vient à se poser la question de Cauchy-Riemann pour une fonction c'est qu'on a déjà vérifié qu'elle était continue, mais bon, un exercice est un exercice :p

[anthony_unac]

]

Tes calculs sont corrects, et c'est bien que tu trouves !

Reste à vérifier les conditions en 0.

c'est plutôt que je trouve. Est-ce normal? car ceci ne permet pas de dire que verifie les conditions de Riemann

Bonjour,
Petite faute de calcul de votre part Simpi (alors que le calcul de vos dérivés était juste)
Y voyez vous plus clair aujourd'hui ?

[Simpi]

Merci je vois plus clair maintenant .
La fonction verifie les conditions de Riemann pour z différent de 0 mais pas en 0.

[Lostounet]

elle n'est pas R-différentiable en 0 (puisque même pas continue)

Sa restriction sur R est bien continue non?
Exp(-1/x^4) fait du 0 en 0 il y a bien un prolongement par continuité.


Mais ya un pb de continuité complexe ...?

[Skullkid]

En fait y a trois fonctions à distinguer :

- la fonction f de l'exercice, qui va de C dans C
- la restriction g de f à la variable réelle, qui va de R dans R
- la fonction h définie par h(x,y) = f(x+iy), qui va de R² dans C

La fonction g est continue sur R, elle y est même infiniment dérivable (par contre comme ça a été remarqué, elle n'est pas développable en série entière en 0).

La fonction f n'est pas continue en 0, parce que parmi l'infinité de façons qu'il y a d'approcher le 0 complexe (alors que dans R il n'y en a que deux : par la gauche et par la droite), il y en a qui donnent pas 0 comme limite.

La fonction h n'est pas continue en 0, pour les mêmes raisons que f, et elle n'y est donc évidemment pas différentiable. En revanche h admet des dérivées partielles en 0, et ces dérivées partielles satisfont les équations de Cauchy-Riemann.

Bref, f satisfait bien les équations de Cauchy-Riemann (qui sont en fait des équations qui portent sur h) sur C tout entier, mais ça ne contredit absolument pas la non-différentiabilité de f en 0, puisque le théorème que tout le monde a en tête requiert la R-différentiabilité de f, c'est-à-dire la différentiabilité de h.