Analyse complexe

[Nightmare]

Hello,

J'ai eu l'exercice suivant en partiel :

Quelles sont les applications continues et bornées telles que ?

Dans un premier temps, l'exercice m'a semblé bizarre. On suppose f continue, qu'est-ce qui permet alors de définir ? (rappel, )

Bon, ayant passé beaucoup de temps à réfléchir sur cette question pendant le partiel, je me suis attaqué à l'exercice en passant outre, et là, je m'en suis sorti avec une preuve de 3 lignes que je présume donc inexacte (ou alors le partiel était vraiment simple, car les autres exercices se résolvent aussi en quelques lignes... pour un partiel de 3h30).


J'ai considéré , alors où f est supposée solution du problème ce qui implique que g est holomorphe. Puis comme f est bornée, . Le théorème de Liouville implique que g est affine, et donc qui n'est pas bornée et on obtient contradiction.

J'ai beau me relire, pour moi il ne semble pas y avoir d'erreur, mais surement est-ce lié à ma partielle incompréhension des hypothèses de l'énoncé !

Qu'en pensez-vous ?

[windows7]

salut,

donc la reponse est aucune. c'est ca qui te fou le doute ?

[Nightmare]

Non pas vraiment, je suis sûr qu'il n'y en a aucune, mais comme je suis un peu passé à côté des hypothèses de l'énoncé, il est possible que ma preuve aussi... mais comme je le dit, je ne vois pas où.

Il est aussi possible, et j'espère que c'est le cas, que ma preuve soit en réalité correcte !

[Nightmare]

Bon, ben si c'est bon, je devrais m'en être très bien tiré à ce partiel, ça rattrapera la future banane en théorie de Galois :lol3:

[windows7]

par contre jord ( mis a part si je dis une n ieme connerie )
on a " f est fonction holomorphe sur C entier & f bornée => f constante " ( cauchy )
en particulier df=1 est impossible ..
c'est une preuve plus simple non ?

[Nightmare]

Yo,

ce que tu cites est (un cas particulier du) le théorème de Liouville (mais je ne doute pas que Cauchy y a apporter quelques éléments). Je ne vois pas comment tu conclus directement.

Attention, il ne s'agit pas de mais de

[windows7]

n ieme connerie :D

[AlexisD]

Puis comme f est bornée, . Le théorème de Liouville implique que g est affine

Pourquoi ?

[Nightmare]

Deux façons de le voir :

La première est d'invoquer la version générale du théorème de Liouville (celle que j'ai dans mon cours), à savoir que si f holomorphe est un alors c'est un polynôme de degré au plus p.

Sinon, on le montre à la main facilement par les inégalités de Cauchy : , implique que dès que .

[AlexisD]

Ok, je ne connaissais pas la version "générale" du théorème de Liouville mais les inégalités de Cauchy le montre bien.
Merci

[Arkhnor]

Bonsoir.

Si est continue, on peut toujours définir au sens des distributions, et la suite fonctionne. (les distributions vérifiant sont en fait de vraies fonctions holomorphes)
Mais je penche plutôt pour une coquille dans l'énoncé, surtout si l'examen est de niveau licence : il faudrait supposer de classe ...

[Nightmare]

Hello !

L'examen est niveau M1, cela dit, le prof parle très peu français et comme c'est lui qui rédige les énoncés, on y trouve souvent des coquilles, mais peu d'ordre mathématique.

[Arkhnor]

Ok, c'est bizarre. Enfin, si c'est en master, c'est possible aussi que les distributions interviennent, mais si ça n'a jamais été mentionné en cours, ça serait quand même surprenant ...

Enfin, ton exercice a un sens, même avec une hypothèse aussi faible que la continuité.