Analyse complexe

[Cam12]

Bonsoir,

Je cherche à démontrer le théorème suivant : si f et g holomorphes et composables et si gof est constante alors f ou g est constante.
Je dois d'abord trouver sous quelles hypothèses le théorème s'applique : domaine de f connexe? domaine de g connexe?

Je ne sais pas comment m'y prendre...

[Ben314]

Tu peut toujours commencer la preuve dans le cas ou les deux domaines de f et g sont connexes (à ta place je raisonnerais par l'absurde en composant deux développements limités...)

Ensuit (ou avant, comme tu veux) pour les différentes hypothéses, essaye de voir ce qu'il se passe si :

Le domaine de g n'est pas connexe => g risque d'ètre constante sur une (ou plusieurs) des composantes de son domaine sans pour autant être (globalement) constante. Est il possible que gof soit constante avec f non constante ? (Réponse : OUI, à toi de trouver un exemple, c'est fastoche)

Le domaine de f n'est pas connexe => f risque d'ètre constante sur une (ou plusieurs) des composantes de son domaine sans pour autant être (globalement) constante. Est il possible que gof soit constante avec g non constante ? (Réponse : OUI, à toi de trouver un exemple : c'est à peine moins fastoche)

[Cam12]

Ok merci, donc je suppose d'abord que les 2 domaines respectivement U et V de f et g sont connexes.
Comme f et g sont holomorphes, elles sont dev en SE en chaque point de leur domaine de def et j'ai :



donc


Ensuite je raisonne par l'absurde, je suppose donc et non constantes et j'essaye de montrer que n'est pas constante.
C'est là que je bloque : j'ai essayé en dérivant j'ai donc si constante alors donc soit ou soit
Je voudrais pouvoir montrer que le deuxième cas n'est pas possible pour aboutir à une contradiction sur g.
A moins que tout cela ne soit pas juste....

[Cam12]

Et pour la connexité des domaines de def:

J'ai raisonné dans le cas de fonctions réelles:
Si on prend f telle que
pour et
pour
alors on a gof constante égale à 1.

Donc il faut que le domaine de def de f soit connexe.

J'ai pris l'inverse pour le domaine de g :

pour
pour
On a gof constante égale à 1 et donc le domaine de g doit aussi être connexe

Ca me parait bizarre quand même (pas que les 2 domaines doivent être connexes mais que l'exemple que j'ai pris marche pour les deux cas....)

[Ben314]

Dans tes deux post il y a des petits problèmes...

Dans le premier, il n'y a aucune raison que les domaines de F et de g aient un point commun z0 et, même si c'est le cas, c'est trés peu malin de prendre les D.V. en série des deux fonctions en z0 (tu ne maitrise pas du tout la taille des rayons de C.V.)

Il FAUT prendre un z0 du domaine de f, écrire le D.V. en série de f au vois de z0 (qui a un rayon de C.V. non nul) puis, évidement, il faut écrire le D.V. en série de g au voisinage de f(z0) (qui est dans le domaine de g vu que, par hypothèse f et g sont "composables).
C'est la seule façon d'avoir quelque chose concernant la fonction gof au voisinage de z0.
Ensuite, (si on raisonne par l'absurde) f [et g] est non constantes sur un domaine connexe donc son D.V. en tout point est non constant...

Dans le deuxième post, ben ce qui ne va pas du tout, c'est qu'une fonction holomorphe, ça doit être défini sur un ouvert de C et qu'un intervalle de R n'est jamais un ouvert de C !!!!! (par contre sur le type de fonctions à considérer pour les contre exemples, c'est bien ça)

[Cam12]

Ok je suis allée un peu vite pour les dev en séries et j'ai pas fait gaffe aux domaines de def, si je reprends, j'ai donc:

pour un z0 dans le domaine de def de f.
et au vois de f(z0)
donc au vois de z0

Par contre je ne vois pas bien pour la suite : je suppose f et g non constantes, donc leur dev sont non constants mais après? Je ne parviens pas à faire le rapprochement avec le dev de gof. Est il possible de passer par la dérivée de gof comme j'avais fait ds mon 2eme post ?(sauf que c'était un peu tout faux), je sèche.

Pour les domaines de def est ce correct de prendre
g(z)= a ( a complexe ) pour Re(z)>0
g(z)=-a pour Re(z)<0
f(z)=z^2

Et vice versa pour le domaine de f?

[Ben314]

Dans une preuve comme celle là, on se fout complètement des coeffs des séries, tout ce qui compte c'est que les deux séries soient non nulles :
avec
avec
donc donc gof est non constante.

Pour ton exemple, c'est O.K. pour fog : le domaine de f est non connexe, celui de g est connexe.

Je ne comprend pas bien le "vice versa" : pour l'autre contre exemple, il faut que le domaine de f soit connexe, que celui de g ne le soit pas, que les deux fonctions soient "composables" et que leur composée soit constante...

[Cam12]

D'accord, merci pour la preuve.

Je ne comprend pas bien le "vice versa" :

C'est normal, j'ai moi même du mal à comprendre ce que j'ai voulu dire!

le domaine de f est non connexe, celui de g est connexe.

C'est le contraire non? j'ai pris g défini partout sur C sauf sur la droite z=0
En fait j'aurais dû inverser les def de f et g pour rester dans les notations de l'exo et avoir gof non constante.

Je n'ai pas réussi à trouver un contre exemple avec le domaine de g non connexe, j'ai essayé plein de trucs sans succès, ça bloque au niveau des domaines de def quand je veux composer gof.
Pourrais tu me donner une indication?

[Nightmare]

Salut !

Dans le cas ou le domaine est connexe, ne peut-on pas simplement dériver ?

[Ben314]

Salut !

Dans le cas ou le domaine est connexe, ne peut-on pas simplement dériver ?

ça marche aussi, mais ça demande un peu plus de culture (principe des zéros isolés)