Analyse assymptotique

[Flashtag]

J'ai x^3+nx=1 qui admet une unique solution xn comment montrer que xn=1/n+o(1/n)?

[Flashtag]

Ah j'ai trouvé que comme xn=1/n+xn^3/n alors -xn^3=o(1) comme xn=o(1) alors c'est ok!

[aviateur]

Bonjour
Pour moi le raisonnement n'est pas correct.
En effet implique n'est pas justifié!!

[mathelot]

bonjour,







f est strictement croissante sur
d'où



comme la fonction cube est strictement croissante sur




comme

[Flashtag]

Ah merci donc si xn = 1/n +o(1/n**3) alors xn =1/n +o(1/n) ?

[Sylviel]

Revenir à la définition de o(1/n) et o(1/n^3).

[tournesol]

La question est équivalente à : xn est équivalent à 1/n , ce qui est équivalent à nxn est équivalent à 1 , ie de limite égale à 1 .
Je pose f(x)=x^3+nx . f est strictement croissante , f(0)=0 et f(1/n)>1 , donc 0<xn<1/n , donc lim xn=0 et donc lim xn^3=0 .
Or nxn=1-xn^3 , donc lim nxn=1 .
CQFD