Bonjour,
J'ai l'exercice suivant : Soit V un F-espace vectoriel (donc R ou C) et soit T un opérateur linéaire sur V.
Montrer que SI TOUT sous-espace vectoriel U de V tel que dim U = dim V - 1 est T invariant, alors il existe
tel que
.
Alors. La traduction de cet énoncé est la suivante :
Soit
. Alors
 = \lambda _{1} \vec{v})
Soit
. Alors
 = \lambda _{2} \vec{v})
où
sont des espaces propres.
Si tous les tels sous-espaces vectoriels (propres) sont T-invariant, il s'agit alors de montrer que
... c-a-d que la valeur propre est unique, et de plus que la matrice de l'application est diagonale.
Bref, j'ai commencé par dire soit B (
,....,
) une base de V, alors toute Base d'un sous-espace vectoriel U de V tel que dim U = dim V - 1 peut s'écrire comme
avec j = 1,2,3....n. C'est à dire que je peux prendre
= (
)
= (
) etc.. En principe, cette base
est une base de n'importe quel tel sous-espace vectoriel. (Car une sous-liste d'une liste lin. independante reste lin. independante, de plus elle contient n - 1 elements ce qui correspond au critere donné).
Donc, tout vecteur de
s'écrit comme
pour k =1, ... n. (où
n'est pas défini, et le deuxième terme est nul pour k = n). Et donc,
 = \lambda _{i}\vec{v})
Or, L'intersection deux à deux de deux tels sous-espace est non-nulle, car si elle l'était, ils seraient en somme directe, et donc dim(
) + dim(
) = dim V, ce qui est contradictoire. Par conséquent,
tel que
. Par conséquent,
 = \lambda _{i}\vec{v} = \lambda _{i+1}\vec{v})
i.e
On a donc que tout vecteur de V est envoyé sur
. Par conséquent, la matrice d'une telle application est diagonale, et ses éléments sont
.
Est-ce que ceci vous semble correct, faux, incomplet.
J'aimerais vos avis, vu que cet exercice a été jugé très dur, et il ne me le semble pas aux premiers abords. Merci d'avance,
Math
