Algèbre L3

[foliata93]

Bonjour!
1) comment montrer que Z/4Z et (Z/2Z)^2 sont les seuls groupes à 4 éléments, que Z/6Z est le seul groupe commutatif de cardinal 6, les groupes commutatifs de cardianl 12 et de cardinal 108.
2)Donner la liste des Z-modules de longueur 3 et cardinal 12,108,6 et =<26
3)Si A est un anneau principal qui n'admet qu'un seul idéal maximal aA, montrer que si I est un idéal de A , alors, il existe un unique n>=0 tel que I=A*a^n.
4)pour tout 0 différent de b appartenant à A, on définit v(b) comme le plus grand n>=0 tel a^n divise b
Monter que v(bb')=v(b)+v(b')
Montrer que v(b+b')>=min(v(b),v(b')) et que v(b+b')=min(v(b),v(b')) pour v(b) différent de v(b')
Pourriez-vous m'indiquer une démarche à suivre pour résoudre ces 4 exos ?

[MotLong]

C'est le devoir maison de lm370 ?
pour l'instant je n'ai fait que les question 1 et 3
Pour I=a^na il faut je pense utiliser ca : dans un anneau principal tout ideal non nul a une decomposition unique en produit d'ideaux maximaux et comme A ne possede qu'un seul ideal maximal, ca marche.

Et pour le groupe d'ordre 4, s'il a un element d'ordre 4 il est isomorque à Z/4Z et sinon ils sont tous d'ordre 2 donc le seul groupe qui reste de possible c'est Z/2Z*Z/2Z

Pour Z/6Z j'ai utilisé Sylow apres il faut montrer que Z/6Z est isomorphe à Z/3Z*Z/2Z

bonne chance

[foliata93]

Moi on m'a dit d'utitlisé le théorème de Kronecker mais je sais plus si on l'a vu en cours
j'ai fait la question 4 enfin une partie j'ai montré que v(bb')=v(b)+v(b') et que v(b+b')=min(v(b),v(b') si v(b)=

[MotLong]

Ah oui ca risque d'etre plus pratique merci mais finalement c'est peut etre à peu pres la meme chose. comment tu fais pour v(b+b')>=min(v(b),v(b') ?

[foliata93]

tu pose b=a^m*x et b'=a^n*y avec x et y non divisibles par a
Tu suppose v(b)=pour v(b)pour v(b)=v(c) tu obtiens b+c=a^v(b)*(x+y) mais x+y peut être divisble par a tu as au mieux v(b+c)>=v(b)=min(v(b),v(b'))
Comme b et b' jouent des rôles symétriques tu as l'inégalité demandée

[MotLong]

cool merci beaucoup j'aurais pas trouvé ca tout seul.

[foliata93]

pas de souci si tu trouver d'autres réponses fais moi signe et moi pariel :) :++:

[MotLong]

j'ai trouvé les groupes commutatif d'ordre 108 :
Z/108Z
3^3 x 2 x 2
3^2 x 3 x 4
3^2 x 3 x 2 x 2
3 x 3 x 3 x 4
3 x 3 x 3 x 2 x 2

et la longueur d'un Z-module c'est la somme des exposants dans la decomposition de l'ordre du groupe en facteurs premiers (mais ca je n'en suis pas trop sûr)
et dans le cours il y a deux formules pratiques :
les sous-modules et les modules qutients d'un module de longueur finie sont de longueur finie
Si {0}et c'est ce qui est important l(M1x...xMk)= SOMME DE 1 à K l(Mi)
où l est la longueur.

[foliata93]

ha oui je crois que t'as raison pour la somme des exposants

[MotLong]

dis, tu as réussis la question 4 du premier exo ?

[foliata93]

Non je n'ai pas réussi :(

[MotLong]

Ah oui et est ce que tu sais si ce devoir va remplacer le second controle sur table ou pas ? (j'etais pas là le jour de la distribution)

[foliata93]

Non je sais pas du tout!!Moi non plus j'étaus mais à mon avis oui je ne pense qu'on aura le temps de faire un second controle d'ici la