Algèbre

[jeje56]

Bonjour,

On note C le groupe additif , produit n fois du groupe additif (Z,+)

Je dois MQ End(C) (ensemble des endomorphismes de C) est isomorphe à

Je ne vois pas comment répondre...

Merci bcp de votre aide !

[ThSQ]

Isomorphe comme groupe additif I presume.

Fais-toi la main sur le cas n=2 déjà. Ca s'écrit tout seul.

[jeje56]

n=2 :

à f : (a,b)->(c,d) on associe par exemple la matrice (a,b,c,d)... ?

Est-ce correct ?

[skilveg]

C'est même un isomoprhisme d'anneaux. Regarde ce qui se passe dans le cas d'un espace vectoriel: se donner une application linéaire revient à se donner l'image d'une base. Eh bien là c'est la même chose, si ce n'est qu'on regarde une base d'un module.

[jeje56]

Merci pr ta réponse

J'ai du mal à voir : f:(x,y)->(z,t) associé à la matrice 2x2 (f(x,y),?) ?

Comment expliquer que c'est un morphisme ?

Merci !

[kazeriahm]

la base canonique du Z-module Z^n est la base (e_i) où e_i= le vecteur avec des 0 partout sauf en i-ème position ou il y a un 1.

Par linéarité, se donner un endomorphisme f de Z^n, c'est exactement connaître les f(e_i). On note M la matrice dans laquelle on a rangé en colonne côte à côte les f(e_i). Tu peux vérifier que l'application f->M est un isomorphisme de l'ensemble des endomorphismes de Z^n dans l'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans Z.

Ce procédé se généralise aux evs par exemple.

[skilveg]

Au contraire, les espaces vectoriels sont un cas particulier de modules.

[kazeriahm]

c'est vrai, autant pour moi

[jeje56]

Merci à vous ;-)

Je vérifie donc : F:End(C)->M_n(Z) vérifie F(f+g)=[(f+g)(e1),(f+g)(e2),...,(f+g)(en)]=F(f)+F(g) ?

Merci à vous !

[skilveg]

Oui, et aussi , selon l'isomorphisme (de groupes ou d'anneaux) demandé.

[jeje56]

Oui :-) Merci skilveg