Algèbre

par **Elvis** » 02 Déc 2007, 18:39

Bonjour à tous,

J'ai un problème concernant un exercice d'algèbre.
Il faut que je montre que le groupe S8 contient un sous-groupe d'ordre 14, le groupe diédral D14, et dire pourquoi.

Je pensais donc dire que d'après le théorème de Cayley : D14 isomorphe à un sous-groupe de S14. Comme, dans un polygône, la moitié des sommets sont les conjugés de l'autre moitié, on peut définir un isomorphisme de D14 vers S7 (déjà, je ne sais pas si on peut définir un isomorphisme à l'aide de 2 fonctions ??). Puis comme S7 inclus dans S8, je conclus, mais ça me paraît un peu flou ...

Merci d'avance pour votre aide.

par **abcd22** » 02 Déc 2007, 19:15

Bonsoir,
Le groupe diédral D14 c'est le groupe des symétries d'un polygône à 7 ou à 14 côtés pour toi ? S'il a 14 éléments comme le dit l'énoncé c'est 7 côtés (et c'est plus facile du coup), mais dans ta solution tu considères que c'est 14.

par **abcd22** » 02 Déc 2007, 19:19

Elvis a écrit:Comme, dans un polygône, la moitié des sommets sont les conjugés de l'autre moitié, on peut définir un isomorphisme de D14 vers S7 (déjà, je ne sais pas si on peut définir un isomorphisme à l'aide de 2 fonctions ??).

Je ne vois pas trop comment définir ça étant donné que si on prend 7 sommets du polygône leurs images peuvent être parmi les 7 autres sommets, et ce ne serait pas un isomorphisme de toute façon puisque S7 est plus gros que D14.

par **Elvis** » 02 Déc 2007, 19:20

Et bien pour moi, le groupe diédral D14 est l'ensemble des isométries qui préservent un polygone régulier à 7 côtés.

par **abcd22** » 02 Déc 2007, 19:23

Donc tout élément de D14 permute 7 éléments...

par **Elvis** » 02 Déc 2007, 19:33

donc on peut dire que D14 appartient à S7, qui est inclus dans S8. C'est à peu près ça ?

par **ThSQ** » 02 Déc 2007, 19:42

Ca a été demandé y'a pas longtemps. J'avais proposé :

S_8 contient une "rotation" d'ordre 7 (un cycle comme s=(1 2 3 4 5 6 7)) et une "symétrie" (par ex r qui échange 1 2 3 avec 7 6 5 et laisse 4 inchangé). Je pense que D_14 ~=

par **Elvis** » 02 Déc 2007, 19:45

Le problème c'est que je ne comprends pas cette solution ...

par **ThSQ** » 02 Déc 2007, 22:09

J'en suis désolé mais je ne suis pas très doué pour expliquer je le constate. Mes potes (et accessoirement le prof ;-)

) me disent toujours que je vais dix fois trop vite en changeant 3 fois de notation en cours de route (va falloir se calmer).
Bref.

Je pense qu'on peut voir le truc de deux façons.

r = (1, 2, ..., 7) le cycle d'ordre 7.
s : 1 -> 7, 2 -> 6, 3 -> 5, 4 -> 4, 5 -> 3, 6 -> 2, 7 -> 1

T'es d'accord que r est comme un rotation et s comme un symétrie d'"axe 4".

Intuitivement le groupe généré par r et s "doit" être

, ça a été mon approche.

Maintenant on peut faire propre : les

(au passage c'est le b*rdel on sait jamais si D_n a n ou 2n éléments .....) sont entièrement caractérisés (i.e à isom près) par :
|G| = 2n
G =

Ici on vérifie que ||=14, que

Donc || ~= D_14.

A noter que ça se généralise facile à tout D_2n et S_2n

par **abcd22** » 03 Déc 2007, 00:09

Mais ici c'est évident que les éléments de D14 permutent les 7 sommets du polygône donc on peut plonger D14 dans S7, et S7 peut se plonger dans S8. Ça ne donne pas explicitement le sous-groupe d'ordre 14 de S8 mais ça répond à la question.

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