Algèbre

par **minidiane** » 29 Nov 2007, 16:01

Bonjour je n'arrive pas à montrer que pour tout diviseur d de n il existe un unique sous-groupe d'ordre d. (G un groupe cyclique d'ordre n)
Application: Déterminer tous les sous-groupes de Z/30Z.
Pouvez-vous m'aider svp
Merci.

par **cesson** » 29 Nov 2007, 17:25

pas facile tu trouveras une solution pour ce type de questios sur le site cessonais.free.fr ou les grooupes sont etudies en detail

par **cesson** » 29 Nov 2007, 17:30

en fait on a une correspondance bijective entre les sous-groupes de Z/30Z et els sous-groupes de Z qu contiennent 30Z donc ces sous-groupes sont du type dZ et 30Z est contenu dans dZ

par **minidiane** » 29 Nov 2007, 17:55

oula j'ai pas trop compris

par **cesson** » 29 Nov 2007, 18:03

connais tu les sous groupes de Z?

par **ThSQ** » 29 Nov 2007, 18:26

Ca a pas l'air si dur

Si G= et d|n alors si

, est d'ordre d : si m est l'ordre de x alors m | n/d, .. contradiction.

Donc il y a au moins un ss-groupe d'ordre d.

Si est un ss-groupe d'ordre n/d, x = a^k. Alors

donc n | kn/d et k | d. si k < d contradiction avec a d'ordre n.

par **cesson** » 29 Nov 2007, 19:34

D'accord avec les solutions par les groupes cycliques mais je ne pensaiis pas que ce soit au programme

par **minidiane** » 29 Nov 2007, 21:56

merci de m'aider c'est gentil
Pour l'unicité quelqu'un sait comment faire?
a moins que ce ne soit la deuxième partie de la démonstration de ThSQ
c'est ça?

par **yos** » 29 Nov 2007, 23:37

ThSQ a écrit:Si G= et d|n alors si , est d'ordre d : si m est l'ordre de x alors m | n/d, .. contradiction.

Donc il y a au moins un ss-groupe d'ordre n/d.

Si est un ss-groupe d'ordre n/d, x = a^k. Alors donc n | kn/d et k | d. si k < d contradiction avec a d'ordre n.

Salut.
Groupes d'ordre d ou d'ordre n/d??

Sinon dernière ligne c'est d|k.

Ca marche bien (si on sait que les sous-groupes d'un groupe cyclique sont cycliques).

par **minidiane** » 30 Nov 2007, 16:37

Groupe d'ordre n

par **ThSQ** » 30 Nov 2007, 17:05

yos a écrit:Ca marche bien (si on sait que les sous-groupes d'un groupe cyclique sont cycliques).

C'est vrai ! Mais c'est pas dur à montrer : on prend le plus petit d > 0 tq

est dans le sous-groupe = H. Si il y a un e non multiple de d tel que

alors on peut trouver un f plus petit que d tel que

par **yos** » 30 Nov 2007, 17:26

Oui, c'est encore la division euclidienne.

par **minidiane** » 30 Nov 2007, 17:47

Désolé j'ai vraiment du mal à comprendre :triste:

par **ThSQ** » 30 Nov 2007, 18:36

minidiane a écrit:Désolé j'ai vraiment du mal à comprendre :triste:

Quel point en particulier ?

par **minidiane** » 30 Nov 2007, 19:35

je ne comprend pas bien pourquoi on a un f plus petit que d et le fait qu'il existe un e non multiple de d

par **ThSQ** » 30 Nov 2007, 20:33

Tu écris

: c'est la division euclidienne

Alors

Maintenant on montre que

ce qui sera une contradiction.

Hints : si

par **minidiane** » 30 Nov 2007, 23:08

ah oui merci je crois que j'ai compris et cela montre l'unicité c'est bien cela?

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