Algèbre

par **Sylar** » 20 Juin 2007, 17:05

Bonjour,j'aimerai savoir comment résoudre cet exercice:
Trouver toutes les fonctions f:R->R continues telles que:

f(x)+f(y)+f(z)=f([3/7]x+[6/7]y-[2/7]z)+f([6/7]x-[2/7]y+[3/7]z)+f(-[2/7]x+[3/7]y+[6/7]z)

Merci........

par **Sylar** » 20 Juin 2007, 18:08

Personne n'a d'idée?

par **Quidam** » 20 Juin 2007, 18:14

Sylar a écrit:Bonjour,j'aimerai savoir comment résoudre cet exercice:
Trouver toutes les fonctions f:R->R continues telles que:

f(x)+f(y)+f(z)=f([3/7]x+[6/7]y-[2/7]z)+f([6/7]x-[2/7]y+[3/7]z)+f(-[2/7]x+[3/7]y+[6/7]z)

Merci........

Les fonctions linéaires répondent à la question. J'ai fortement l'impression qu'elles sont les seules, mais bien sûr, il faut le démontrer. Je te suggère de faire des essais avec des valeurs particulières. Par exemple :

y=0 et z=0 donnent :
f(x)+2f(0)=f([3/7]x)+f([6/7]x)+f(-[2/7]x)
ce qui montre que f([3/7]x)+f([6/7]x)+f(-[2/7]x)-f(x) est une constante...

Enfin, je n'ai pas bien réfléchi à la question, mais je pense que tu peux trouver comme ça !

par **fahr451** » 20 Juin 2007, 19:00

les solutions sont les fonctions affines
0) les fcts affines sont solutions
soit f solution
1) on montre que f est dérivable (même C infini)

faire z = 0 et intégrer par rapport à y sur [0,1] on exprime f(x) en fonction de F primitive de f

2) dériver la relation 1 fois par rapport à x , y ,z puis par rapport à y, z, x (dans cet ordre)

on a un système linéaire sans second membre d 'inconnues f " ( ) , f "( ), f " ( ) de déterminant non nul

l'unique solution est 0

par **Babe** » 20 Juin 2007, 19:06

fahr451 a écrit:les solutions sont les fonctions affines
0) les fcts affines sont solutions
soit f solution
1) on montre que f est dérivable (même C infini)

faire z = 0 et intégrer par rapport à y sur [0,1] on exprime f(x) en fonction de F primitive de f

2) dériver la relation 1 fois par rapport à x , y ,z puis par rapport à y, z, x (dans cet ordre)

on a un système linéaire sans second membre d 'inconnues f " ( ) , f "( ), f " ( ) de déterminant non nul

l'unique solution est 0

mais ou va t-il chercher tous ca :doh: ? un exo, une reponse, quel talent fahr :id:
j'aimerais bien avoir les resultats de polytech tu as fini de corrigé :zen: ?

par **fahr451** » 20 Juin 2007, 19:09

tu es gentil

mais ce genre d équation fonctionnelle est très classique

(je crois que quelqu 'un l écrivait ici récemment)

contrairement aux apparences plus y a de lettres indépendantes plus c'est facile de jouer dessus

intégrer pour montrer que la continuité implique la dérivabilité est à retenir

les équations les plus dures sont celles qui ne lient que x et 2x par exemple

par **Sylar** » 20 Juin 2007, 19:10

Merci pour la réponse ,mais a vrai dire j'ai pas tres bien saisi ...............
De plus comment intégrer f(([3/7]x+[6/7]y-[2/7]z))...........
Et pourquoi prendre z=0....
Comment montre t-on: on montre que f est dérivable (même C infini)??

par **fahr451** » 20 Juin 2007, 19:16

z= 0 parce que ça marche bien comme ça...
f(x) +f(y) +f(0) = f ( ax+by) + f ( bx+cy) + f(cx+ay)

on intègre par rapport à y sur [0,1]
f(x) +F(1) - F(0) +f(0) = changement de variables

je fais pour

Intégrale [0 ,1] f (ax+by) dy [ poser t = ax +by ]

= Intégrale [ax,ax+b] f(t) dt / b =[ F(ax+b) - F(ax)]/b qui une expression de classe C 1 par rapport à x

idem pour les deux autres
donc f est C1 puis F C2 puis f C2 etc etc (cf anna et le roi)

par **bruce.ml** » 20 Juin 2007, 19:49

C'est quand même plus de l'analyse fonctionnelle que de l'algèbre tout ça.

par **Sylar** » 20 Juin 2007, 22:21

Dans la rubrique ou il y avait l'exo il y avait écrit algèbre donc voila .............
Sinon merci fahr...........

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