Algèbre

par **Sylar** » 18 Juin 2007, 18:19

Rebonjour,voila un exercice qui me bloque:
Soit E un espace euclidien ,soit A un sev de E.Montrer que :
A et son othogonal son supplémentaire dans E et que l'orthogonal de l'orthogonal de A est égal a A.
Merci.....

par **kazeriahm** » 18 Juin 2007, 18:27

est-ce que tu sais faire la premiere partie?

pour la 2), une inclusion est facile je te laisse voir laquelle

pour obtenir l'égalité entre A et son double orthogonal, raisonne sur la dimension de ces deux espaces

par **quinto** » 18 Juin 2007, 18:39

Bonjour,
par euclidien, entends-tu que les dimensions doivent être finies ?
Les conventions ne sont pas toujours claires à ce sujet.

par **kazeriahm** » 18 Juin 2007, 18:41

ici oui nécessairement les dimensions sont finies puisque A = double orthogonal de A est faux en général.

par **quinto** » 18 Juin 2007, 18:43

kazeriahm a écrit:ici oui nécessairement les dimensions sont finies puisque A = double orthogonal de A est faux en général.

Oui effectivement, c'est vrai si et seulement si A est un sev fermé.

par **Sylar** » 18 Juin 2007, 19:00

est-ce que tu sais faire la premiere partie?
Montrons que A et son orthogonal sont supplémentaire dans E.
J'ai fais montrons que l'intersection de A est de son orthogonale est réduite a 0.
sOIT X appartenant a l'intersection,,pour tout y appartenant a A:
(x/y)=0 =>(x/x)=0 =>x=0.
o inclu dans l'intersection (sev)
Mais il me manque quelque chose pour montrer supplémentaire.....
Pour la 2 ,y a une inclusion immédiate:
A c orth orth A
.......

par **quinto** » 18 Juin 2007, 19:05

Sylar a écrit:Mais il me manque quelque chose pour montrer supplémentaire.....

Que penses-tu de x-Px où x est dans E et Px est la projection orthogonale sur A ?

Pour la seconde question, comme l'a dit kazheriam, si tu raisonnes avec les dimension + une inclusion c'est terminé.

par **Sylar** » 18 Juin 2007, 19:24

Que penses-tu de x-Px où x est dans E et Px est la projection orthogonale sur A ?

Px=x-Px+Px=(x-Px)+Px =>(x-Px) appartient a A orthogonal

mais je ne vois en quoi ca m'ai utile ......

par **Sylar** » 18 Juin 2007, 20:13

Personne pour m'aider?

par **quinto** » 18 Juin 2007, 20:17

Sylar a écrit:Personne pour m'aider?

Tu cherches bien à montrer que tout x s'écrit Px+Qx où Px est dans A et Qx est dans son orthogonal non ?
Et ce, de façon unique (l'unicité est triviale).

par **Sylar** » 18 Juin 2007, 20:25

Ah d'accord par contre pour moi l'unicité n'est pas triviale.....

par **quinto** » 18 Juin 2007, 20:28

Suppose que tu aies deux telles représentations:

x=a+b=a'+b'
où a et a' sont dans A et b et b' dans l'orthogonal de A.

alors es-tu d'accord que
a-a'=b'-b ?

par **Sylar** » 18 Juin 2007, 20:30

Oui exactement.....

par **quinto** » 18 Juin 2007, 20:33

Mais c'est fini, vois-tu pourquoi ?

par **Sylar** » 18 Juin 2007, 20:39

Oui en effectuant le produit scalaire :
(a-a'/b'-b)=0=//b'-b//^2 => b=b' de meme pour a .....c'est ca?

par **quinto** » 18 Juin 2007, 20:42

Je ne comprend pas bien tes calculs mais le membre de gauche est dans A et celui de droite est dans son orthogonal.
Donc tu as un élément dans A inter son orthogonal et tu as préalablement montré que ceci était réduit à 0.
Ainsi a=a' et b=b'.

par **Sylar** » 18 Juin 2007, 20:49

Oui exactement merci ,par contre j'ai pas compris l'histoire des dimensions pour:
l'orthogonal de l'orthogonal de A....

par **kazeriahm** » 18 Juin 2007, 20:58

A est l'orthogonal de A sont supplémentaires dans E.

Donc dim A + dim A_ = dim E (A_ siginifie orthogonal de A)

De meme dim(A_)+dim((A_)_)=dim E.

Donc dim (A_)_ = dim A.

Or A est inclus dans .... donc....

par **Sylar** » 18 Juin 2007, 21:01

Ah d'accord bien joué merci......
Une derniere question:comment justifier a l'oral par exemple:
Donc dim (A_)_ = dim A.

Or A est inclus dans .... donc....

par **kazeriahm** » 18 Juin 2007, 21:05

mmm Sylar si je puis me permettre, toi qui es en mp, c'est du cours tout ca, et c'est la base de l'algebre linéaire...

si E est contenu dans F et que F et E ont meme dimension... alors E=F...

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