Algébre L3

[Anonyme]

Bonjour à tous, je bloques sur un exercice, un petit coup de main serait le
bienvenu.

Soit p un nombre premier. G le grouppe des matrices 2x2 inversible à coeff
dans le corp Fp (corp à p éléments)

T=|1 1|
|0 1|

1) Quel est l'ordre de G
2) Quel est l'ordre de T
3) Déterliné le cardinal de la classe de conjugaison de T dans G
4) Montrez que tout élément d'ordre p de G est conjugé à T

1) J'ai écrit que G était l'ensemble des matrices :
|a b|
|c d|
avec ad-bc=1
Si a=0, on a forcément d qcq, b différent de 0, et c qui dépend de b, donc
p(p-1) possibilitées
Si a<>0, p-1 possibilitée pour a, d=(1+bc)/a, b et c qcq, on a donc p²(p-1)
possiblitées

pour un total de p³-p = p(p²-1) = p(p-1)(p+1)

2) T^n =
|1 n|
|0 1|
d'ou T d'ordre p.

3) j'ai calculé xT(x^-1) avec x=
|a c|
|b d|
je trouve
|1-ab a² |
| -b² 1+ab |

Si a=0, b non nul comme plus haut, d'ou p-1 possibilitées
si a<> 0, b à p possibilitée, d'ou
p(p-1) + p-1 = (p+1)(p-1) = p²-1 possibilitées

4) ... je bloques complétement !!
J'ai écrit que G/ avait p(p²-1)/p = p²-1 éléments,
Si A d'ordre p, Cl(A)^p = 0, d'ou O(Cl(A)) divise P, O(Cl(A))= 1 ou p, or
O(Cl(A)) divise p²-1, et comme p divise pas p²-1, O(Cl(A))=1, Cl(A) = Id et
A appartient à
Ainsi, je trouve que les seuls éléments d'ordre p sont dans ??? or il
y'en a p-1, et plus haut j'en trouve p²-1 !?!?

Voilà, si qqun pouvais voir cet exo, et le faire algébriquement (je sent que
poser la matrice abcd n'est pas une bonne idée, mais je ne vois rien d'autre
!)

Merci,
Pierre.?

[Anonyme]

> Bonjour à tous, je bloques sur un exercice, un petit coup de main serait
> le bienvenu.
>
> Soit p un nombre premier. G le grouppe des matrices 2x2 inversible à coeff
> dans le corp Fp (corp à p éléments)
>
> T=|1 1|
> |0 1|
>
> 1) Quel est l'ordre de G
> 2) Quel est l'ordre de T
> 3) Déterliné le cardinal de la classe de conjugaison de T dans G
> 4) Montrez que tout élément d'ordre p de G est conjugé à T
>
> 1) J'ai écrit que G était l'ensemble des matrices :
> |a b|
> |c d|
> avec ad-bc=1
> Si a=0, on a forcément d qcq, b différent de 0, et c qui dépend de b, donc
> p(p-1) possibilitées
> Si a0, p-1 possibilitée pour a, d=(1+bc)/a, b et c qcq, on a donc
> p²(p-1) possiblitées
>
> pour un total de p³-p = p(p²-1) = p(p-1)(p+1)

Autre manière, qui marche pour des matrices n x n: l'ordre de G est le
nombre de bases de (Fp)^2. On commence par choisir un vecteur non nul (p^2-1
choix), puis on choisit un vecteur qui ne lui est pas colinéaire, i.e. qui
n'est pas dans la droite engendrée par le premier qui a p éléments, soit
p^2-p choix. D'où le résultat qui est (p^2-1)(p^2-p).
Ton erreur est que tu n'as considéré que les matrices de déterminant 1,
alors que c'est déterminant différent de 0 qui nous intéresse...

> 2) T^n =
> |1 n|
> |0 1|
> d'ou T d'ordre p.

Je suis d'accord.

> 3) j'ai calculé xT(x^-1) avec x=
> |a c|
> |b d|
> je trouve
> |1-ab a² |
> | -b² 1+ab |

Admettons.

> Si a=0, b non nul comme plus haut, d'ou p-1 possibilitées
> si a 0, b à p possibilitée, d'ou
> p(p-1) + p-1 = (p+1)(p-1) = p²-1 possibilitées

Un peu rapide... Je ne suis aps convaincu, justifie bien la possibilité de
choisir n'importe laquelle des éventualités.

> 4) ... je bloques complétement !!

Essaie de montrer qu'un élément d'ordre p est trigonalisable, puis de le
réduire.

--
Mû

[Anonyme]

Merci, je vais essayer tout ca !