Algèbre

[gauthier1002]

Bonjour, je ne sais pas comment résoudre cette excercice

(a) Donnez l’ensemble des solutions du problème de Cauchy et précisez leurs intervalles maximal
d’existence
4x(1+x)y' −(4+5x)y = x^2 (1+x), y(0) = 3

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Hum ... c'est de l'algèbre ?
C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre. Technique ordinaire : résolution de l'équation homogène (sans second membre), recherche d'une solution particulière, identification de la solution vérifiant la condition initiale.

Bon travail !

[mathelot]

On peut noter , pour ,

- que le problème n'est pas de Cauchy puisque x=0 annule le coefficient devant y',

- d'autre part y(0)=3 est impossible en remplaçant x par zéro dans l'équation.

En intégrant sur l'intervalle , on trouve pour solution qui se prolonge en y(0)=0 (où C est une constante d'intégration)

[mathelot]

sur l'intervalle
où est une constante d'intégration.
On peut donc définir des solutions de l'équation en prolongeant y par zéro en x=0.
en x=-1 , la solution n'est pas dérivable. Les deux intervalles de définition maximaux sont donc
et