Algèbre

[lolam]

Bonjour,
Mes examens arrivent bientôt et, en refaisant ceux des années précédentes, voici quelques propriétés tirées de Vrai/faux que je ne comprends pas ;

1) Si A est une matrice 4x4 de rang 1 et lambda = 0 est une valeur propre de A de multiplicité algébrique 3, alors A est diagonalisable. pourquoi est-ce vrai?

2) Si deux lignes d'une matrice 7x7 sont les mêmes, alors det A = 0. Pourquoi est-ce vrai?

3) Si un vecteur v est orthogonal à tous les vecteurs sauf un d'un sous espace W, alors v appartient à W perpendiculaire. Pourquoi est-ce vrai? Je pensais que v devait être égal à TOUS les vecteurs de W?

4) Une base orthonormale est une base orthogonale mais la réciproque est fausse. Pourquoi est-ce faux?

5) Soit W est sous espace. Si v est dans W et dans Wperpendiculaire, alors v = 0. Pourquoi est-ce faux ?

Merci d'avance!!

[GaBuZoMeu]

Pour la 5 : si un vecteur est à la fois dans et dans , alors . La réponse à cette question est "vrai".

[Mateo_13]

Bonjour lolam,

3) Si un vecteur v est orthogonal à tous les vecteurs sauf un d'un sous espace W, alors v appartient à W perpendiculaire. Pourquoi est-ce vrai? Je pensais que v devait être orthogonal à TOUS les vecteurs de W?

Pour comprendre ceci, je te suggère de lire le paragraphe "Plans perpendiculaires" de l'article https://fr.wikipedia.org/wiki/Perpendicularit%C3%A9 , ce qui te permettra de comprendre la différence entre sous-espaces perpendiculaires et sous-espaces orthogonaux, en faisant des dessins ou en prenant deux équerres, une règle et le plan d'une table comme modèle.

4) Une base orthonormale est une base orthogonale mais la réciproque est fausse. Pourquoi est-ce faux?

orthonormale impose que la norme des vecteurs de base soit égale à 1, alors que l'autre non.

Cordialement,
--
Mateo.

[GaBuZoMeu]

Hum. Il me semble clair que le "W perpendiculaire" est pour remplacer , notation de l'orthogonal de . Donc l'histoire de mateo13 sur la différence entre orthogonal et perpendiculaire me paraît hors sujet.

Pour cette question, il suffit de savoir qu'un vecteur est orthogonal à un sous-espace si et seulement s'il est orthogonal à une famille génératrice de . Or, quand on enlève un vecteur à , il reste bien une famille génératrice de !

[Mateo_13]

Salut GaBuZoMeu,

tu as raison pour , je me suis trompé.

Pour cette question, il suffit de savoir qu'un vecteur est orthogonal à un sous-espace si et seulement s'il est orthogonal à une famille génératrice de . Or, quand on enlève un vecteur à , il reste bien une famille génératrice de !

Je ne comprends pas : si un vecteur v n'est pas orthogonal à un vecteur w d'un plan donné, alors leur produit scalaire est non nul, et donc v n'est pas non plus orthogonal à tous les vecteurs colinéaires à w, donc à la droite vectorielle engendrée par w, donc il manque un vecteur générateur à W. (On peut compléter la base de W en commençant par prendre w comme premier vecteur).

En fait, s'il n'y a qu'un seul vecteur de W non perpendiculaire à v, alors ce vecteur devrait être nul (même le vecteur nul a un produit scalaire nul avec tous les vecteurs).

Amicalement,
--
Mateo.

[GaBuZoMeu]

À mon avis, le sens de la question est : soit un vecteur de . Pour tout vecteur différent de , on a . Est-ce que . C'est je pense la seule façon raisonnable d'interpréter la question, et je me méfie un peu de la transcription d'énoncé faite par le questionneur (voir la dernière question).