K-ev et K-algèbre

[simplet]

Bonjour, je vous énonce l'exercice et apres je vous dis comment je suis sensé y arriver...

" Soit E un K-ev et G inclus dans GLn(K). Soit A le ss-ev de Mn(K) engendré par G.
Montrer que A est une ss-K-algebre de Mn(K). "

Apparemment d'apres mon prof, pour montrer que A1 est une ss-K-algebre de A2 il faut montrer que A1 est un ss-anneau de A2 et que l'injection K->A1 coincide avec l'injection K->A2....
mais moi je ne vois pas le rapport entre ss-algebre et ss-anneau étant donné que dans un ss-anneau on n'a pas de loi externe...
En fait dans cet exercice on croule sous tous pleins de notions.. qu'il faudrait mettre en relation, je crois...

merci pour votre aide
simplet l'algebriste

[yos]

Apparemment d'apres mon prof, pour montrer que A1 est une ss-K-algebre de A2 il faut montrer que A1 est un ss-anneau de A2 et que l'injection K->A1 coincide avec l'injection K->A2....
mais moi je ne vois pas le rapport entre ss-algebre et ss-anneau étant donné que dans un ss-anneau on n'a pas de loi externe...

c'est parce que A1 est déjà un sev de A2. La loi externe est déjà présente et A1 est stable par cette loi.
En gros, tu as : K-algèbre=Kev +anneau + condition supplémentaire de compatibilité entre la loi externe et la multiplication dans l'anneau. Et c'est cette dernière condition qui peut se traduire comme le dit ton prof.
A vérifier pour ce dernier point. Il faut que j'y réfléchisse.

[simplet]

c'est parce que A1 est déjà un sev de A2. La loi externe est déjà présente et A1 est stable par cette loi.

Au risque de paraitre insistant... quelle est ici la loi externe?? Je veus bien que (Z,A)->A puisse servir de loi externe puisque 1A+...+1A n fois (1A =neutre de A pour la loi multiplicative) peut se noter n.1A appartient à A (même si Z n'est pas un corps), mais ici le corps considérer est K, corps quelconque. Mais on n'a pas ca dans les anneaux!? (de loi externe (K,A)->A avec corps quelconque, je veux dire)

[yos]

Je ne saisis pas trop ta question.
Ici on a des matrices sur un corps K. La loi externe est évidente :

[simplet]

à la doustblazy.. "hum, en effet"

(merci, je ne regardais pas le cas particulier et je restais dans le cadre general, mais ce n'est pas vrai en général...(?))