Algèbre

[Raito07]

Salut,
j'ai besoin d'aide pour cet exercice svp j'ai réussi les 2 premières questions:

[Ben314]

Salut,
Ton 2), ce qu'il dit, c'est que, si A est un polynôme annulateur de l'endomorphisme u alors le polynôme XA' est lui aussi un polynôme annulateur de u.
Or tu sait (et c'est même la définition) que le polynôme minimal P de u c'est le polynôme unitaire tel que l'ensemble des polynômes annulateurs de u soit exactement l'ensemble des multiples de P (i.e. des PB où B est un polynôme quelconque).
Et si tu applique le 2) avec A=P (qui est bien annulateur de u), tu en déduit que . . .


Remarque :

2) montrer que (où A est un polynome annulateur de u)

Ca fait plus que "concon" comme façon d'écrire les trucs : un "polynôme annulateur de u", c'est (définition) un polynôme A tel que A(u)=0 donc d'écrire les deux trucs en rouge, ça fait on ne peut plus "bizarre".
Ce que tu peut écrire (au choix), c'est :
- .
- Pour tout polynôme A, on a : .
- Pour tout polynôme A annulateur de , on a .
- Si A est un polynôme annulateur de , alors .
- Si A est un polynôme annulateur de , alors aussi.

[Raito07]

Si P est le polynome minimal alors XP' est aussi un annulateur et donc P le divise...
Alors il existe un polynome B tel que XP'=BP. Mais pour avoir des dégrés égaux il faut que B soit de degré 0, c'est à dire B=k un scalaire non nul. Donc P=XP'/k ? Je suis sur la bonne piste?

P=X^k

[Ben314]

Si P est le polynome minimal alors XP' est aussi un annulateur et donc P le divise...
Alors il existe un polynome B tel que XP'=BP. Mais pour avoir des dégrés égaux il faut que B soit de degré 0, c'est à dire B=k un scalaire non nul. Donc P=XP'/k ? Je suis sur la bonne piste?
P=X^k

Oui, c'est tout à fait ça le début, mais il manque les étapes de la fin :
Partant de XP'=kP, comment tu déduit que P=X^k (et que k est un entier naturel) ?

Il y a plusieurs solutions plus ou moins rapides et plus ou moins esthétiques, mais ça me semble quand même plus que gonflé de faire comme si c'était tellement évident comme déduction qu'on peut se permettre de passer de l'un à l'autre sans aucune explication...

[Raito07]

En revenant à la définition du polynôme
On obtient des égalités entre les coefficients de même degré.
Alors on voit que k=n (le plus haut degré de P donc un entier).
Et pour i allant de 0 à n-1:

donc P=X^n

Merci pour ton aide !!

[Ben314]

Ca marche comme ça.

Sinon, tu as un peu plus joli :
Si on écrit avec maximum c'est à dire avec alors



Et si tu st dans , tu peut aussi écrire que vérifie l'équation différentielle (du premier ordre, linéaire, homogène) (triviale à résoudre)