Algèbre

[JessMaths]

Bonjour j'ai un exercice à faire et je n'ai rien compris au cours donc j'ai beaucoup de mal à le faire, le voici:

On considère u1(3,2) u2(4,-1) et u3(5,-2) trois vecteurs de R².
La famille {u1,u2,u3} est-elle libre? est-elle génératrice? est-elle une base de R²?

Voilà je vous remercie d'avance..

[Ben314]

Salut,
A mon avis, ça c'est l'exercice 1) d'une feuille d'exo. destinée à te faire comprendre le cours.
Peut tu lire dans ton cours la définition de "famille libre" (pour le moment, je te demande pas de la "comprendre" : tu la "comprendra" à force de chercher des exercices)

On verra ensuite pour le reste de l'exo.

P.S : Il y aurais moyen de faire cette première question avec zéro calculs, mais a mon avis, c'est pas le but du jeu.

[JessMaths]

Bonjour j'ai dejà lu plusieurs fois ce cours et ça ne m'aide vraiment pas j'ai l'impression qu'ils parlent chinois..

[Ben314]

Donne nous la définition que tu as, et on te fera une "explication de texte" qui colle exactement avec la définition que tu as vu (même lettres, même symbolisme, etc...)
A mon avis, ça sera bien mieux pour éviter de t'embrouiller : Les notations, une fois qu'on a un peu de "bagage", on s'en fout, mais au début, c'est quand même mieux de pas trop les changer...

[JessMaths]

Une famille {e1,....,ep} est génératrice de l'espace vectoriel E si et seulement si
E=vect{e1,...,ep}

Une famille {e1,....,ep} est libre si et seulement si, pour tout p-uplet (α1,...,αp) appartenant à R^p tel que :
E=vect{e1,....,ep}
on a: α1=...= αp=0.

Voilà ce que j'ai ^^

[Ben314]

Bon, ben effectivement... c'est pas gagné....
Pour "génératrice", c'est bon, mais il faudra évidement aller chercher dans le cours la définition du mystérieux "vect" qui apparait là dedans : on verra en temps voulu.

Par contre, pour "libre", c'est pas bon du tout, en particulier vu que ce que tu as écrit ça veut pas dire grand chose.

Je te propose de partir sur ça :
Une famille {e1,....,ep} est libre si et seulement si, la seule solution de l'équation α1.e1+α2.e2+...+αp.ep=vecteur_nul (d'inconnues les réels α1, α2 , ... , αp)
est α1=...= αp=0.

Donc, dans le contexte de l'exercice, c'est quoi "l'équation α1.e1+α2.e2+...+αp.ep=vecteur_nul" ?

[JessMaths]

L'équation serait donc: λ(1) x u(1) + λ(2) x u(2) + λ(3) x u(3) = 0 ?

[Ben314]

Oui, c'est ça.
Pour moins se faire c... sur les notations, note a,b,c les trois réels "inconnues".
Attention aussi à bien voir que le 0 après le =, ça désigne le vecteur nul et pas le réel 0.

Ensuite, il faut continuer à "dérouler" les définitions/hypothèses :
- Ecrit sous la forme ( ??? ; ??? ) , il vaut combien le vecteur a.U1+b.U2+c.U3 ?
- Qu'est ce que ça veut dire qu'il est égal au vecteur nul ?

[JessMaths]

Il est égal au vecteur nul alors ça veut dire que la famille est libre ?

[Ben314]

Il est égal au vecteur nul alors ça veut dire que la famille est libre ?

Non, pas du tout.
Être une "famille libre", je t'ai écrit la définition juste au dessus (la seule solution de ....)

Là, tu as une équation entre vecteurs et il faut que tu la résolve, (au moins en partie) pour savoir si la seule solution est a=b=c=0 ou s'il y d'autres solutions.
Et pour ce faire, il n'y a absolument pas besoin de savoir ce qu'est une famille libre ou quoi que ce soit du même genre. Tout ce qu'il faut savoir faire, c'est d'ajouter des vecteurs, de savoir les multiplier par des réels, et de savoir que deux vecteurs sont égaux ssi ils ont les mêmes coordonnées.