Algèbre

[Trident]

Salut, je voudrais avoir confirmation d'une démonstration qui est assez importante. Ca concerne les isométries affines.

Soit un espace affine et son espace vectoriel associé.

Soit un droite de (droite vectorielle, pas affine). On note la symétrie orthogonale par rapport à .
Déterminer toutes les droites telles que

J'ai démontré qu'il y en a deux : et .

Soit D' une droite. On peut montrer préalablement que :



Une fois cette équivalence montrée, on continue en disant :

ou ou

Reste à montrer l'équivalence :


Première implication :

On suppose vrai .
Soit . Comme , alors avec réel.
Mais la norme est conservée donc et

Supposons vrai désormais
Soit . .

Soit. est bijective donc avec .


L'équivalence est-elle juste et bien démontrée ? Et est-elle encore vraie si je remplace mon par ?


Enfin, il faut déterminer toutes les droites (droites affines) telles que où est la symétrie affine par rapport à .

La je dis :

ou

La réciproque se montre bien je pense mais on peut pas raisonner directement par équivalence ?

Merci bien.

[Doraki]

je comprends pas comment tu montres l'équivalence
(pour tout u de D', (u est dans ker ;)D-id ou u est dans ker ;)D+id)) <=> D' = D ou D' = Dorthogonal

La réciproque de la première équivalence manque cruellement d'explications, ce que tu veux faire n'est pas du tout clair.
L'équivalence est vraie si tu remplaces "pour tout" par "il existe", mais avec une autre preuve.

Et puis je suis curieux de voir comment (à la fin dans le contexte affine) tu montres que si D et D' sont parallèles alors ;)D(D') = D'

[Trident]

La reciproque manque cruellement d ' explications, c 'est vrai mais c'est un resultat connu du cours donc je ne l'ai pas redémontré. Je me suis trompé pour la symetrie affine par contre. Les candidats D' sont.à chercher parmi les droites parallèles à D ou orthogonales à D. Mais en fait, seules les droites orthogonales marchent ou alors D elle même. Ca doit se démontrer facilement. Mais c'est correct sinon?

[Trident]

Pour ton premier paragraphe, j'ai pas répondu. Mais on a montré en cours que si f est une symetrie orthogonale par rapport à une droite D, alors D= ker(f-id) et Dorthogonale= ker(f+id). C'est pas vrai?

[Doraki]

si f est une symetrie orthogonale par rapport à une droite D, alors D= ker(f-id) et Dorthogonale= ker(f+id). C'est pas vrai?

Donc tu as D(D') = D' D' est incluse dans D union D-orthogonal.
Ensuite ?


Le reste est bon.