Algèbre

[zork]

Bonjour,

Soit G un groupe commutatif fini muni de la loi *
H un sous groupe de G tel que |H|=2 et |H| divise |G|
de plus g dans G\H

j'ai montré que g² n'est pas dans g*H

1) montrer que G=H inclus dans g*H
2) montrer que g² dans H


comment faire ces 2 questions? :hein:


merci

[adrien69]

Bonjour,

Soit G un groupe commutatif fini muni de la loi *
H un sous groupe de G tel que |H|=2 et |H| divise |G|
de plus g dans G\H

j'ai montré que g² n'est pas dans g*H

1) montrer que G=H inclus dans g*H
2) montrer que g² dans H


comment faire ces 2 questions? :hein:


merci

Tu es sûr de ton énoncé ? C'est pas l'indice de H qui vaut 2 plutôt que son cardinal ?

[zork]

dans l'énoncé exact c'était |H|\|G|=2
du coup vu que ce n'est pas l'ordre ca doit être [G:H]=2

[adrien69]

Bon dans ce cas là tu sais que G est réunion disjointe de H et de S disons avec S=g*H pour un certain g, et en fait pour tout g n'étant pas dans H
Donc pour tout g de G\H (c'est bien ce que tu voulais dire ?), gH=S, en particulier, g*e est dans S
Donc G\H est inclus dans gH
On en déduit par un argument de cardinalité que gH=G\H

On a gH est différent de H
Donc g(gH) est différent de gH
On en déduit g²H=H (car G réunion disjointe de H et de gH)
Donc g² est dans H

[zork]

merci je vais regarder cela de plus près

[zork]

j'ai plusieurs questions:

dans la 1)
Pourquoi dis tu que G est l'union disjointe de G et S?
dans la suite tu écris G\H inclus dans gH mais dans la question c'était G=H inclus dans gH
Pour finir quel argument de cardinalité tu utilises?

Dans la 2)
pourquoi part on comme ceci: gH différent de H et comment sais t on cela?
comment déduit t on que g²H=H, tu parles d'union disjointe mais je vois pas pourquoi

ces questions sont peut-être stupides mais l'algèbre fondamental c'est pas ma tasse de thé :hum:

[adrien69]

Dans m'ordre :
On a une relation d'équivalence, ce qui est équivalent à avoir une partition
Ton énoncé doit être faut. Le cardinal de H étant plus petit que celui de G on ne peut avoir G=H
On a card(G)=2card(H)=card(H)+card(gH)
On a g n'est pas dans H or e est dans H donc ge=g est dans gH mais pas dans H.
Pour l'uniolmn disjointe j'ai déjà répondu

Une fois que tu y auras réfléchi, si tu as encore un problème, dis le je te ferai une rédaction nickel.

[zork]

en cous on a jamais introduit le terme "partition"

du coup est il possible de s'en passer?

[Nightmare]

Ce n'est pas G=H inclus dans gH, ce qui ne veut rien dire, mais G=H union gH

[zork]

je n'ai toujours pas compris la question 1)
Pourquoi G\H, on parle de G?

dans la 2) un point que je n'ai pas compris:
H différent de gh ok
mais pourquoi gH=g²H?

[zork]

un petit up

[adrien69]

Bon
l'indice de H dans G étant 2 on sait qu'il n'existe que deux classes à gauche modulo H
On a eH=H donc l'une des deux classes est H. Si g n'appartient pas à H, gH et H sont différents, on en déduit que gH est l'autre classe à gauche modulo H.
On a alors gH inter H={} (ensemble vide) et G est la réunion de gH et de H.

Donc si g² est dans gH, g² s'écrit gh avec h dans H. On en déduit g=h donc g est dans H absurde.
On en déduit alors que g² est dans G\gH qui est exactement H.