Algèbre

[barbu23]

Bonjour,

Soit un anneau
Si est un homomorphisme de - algèbres, est ce que est engendré par et l'unité ?
Si la réponse est négative, quant est ce que cela a lieu ?

Merci d'avance.

[Luc]

A priori je dirais que B n'est pas forcement égal a l’algèbre engendrée par f(A). Si f(A) est non nul, l’unité est un élément de l’algèbre engendrée par f(A), non?

Je pense que la condition pour que ce soit égal n'est pas triviale, il faudrait prendre un exemple avec les endomorphismes d'un C espace vectoriel de dimension finie pour visualiser ce que signifie que f(A) engendre B.

[barbu23]

A priori je dirais que B n'est pas forcement égal a l’algèbre engendrée par f(A). Si f(A) est non nul, l’unité est un élément de l’algèbre engendrée par f(A), non?

Je ne sais pas, on ne sait pas à priori si

Je pense que la condition pour que ce soit égal n'est pas triviale, il faudrait prendre un exemple avec les endomorphismes d'un C espace vectoriel de dimension finie pour visualiser ce que signifie que f(A) engendre B.

D'acord, est le plus petit - algèbre qui contient et . Si est surjective, on aurait peut être pu dire oui, non ?

[Luc]

Je ne sais pas, on ne sait pas à priori si

D'acord, est le plus petit - algèbre qui contient et . Si est surjective, on aurait peut être pu dire oui, non ?

Si f est surjective, B est égal a f(A), donc le résultat est clair.
Peux-tu donner un exemple typique d’algèbres A et B et d'un tel morphisme?

[barbu23]

Si f est surjective, B est égal a f(A), donc le résultat est clair.
Peux-tu donner un exemple typique d’algèbres A et B et d'un tel morphisme?

,non ? c'est homomorphisme injectif, mais pas surjectif. :marteau:
Enfin, je ne sais pas.

[barbu23]

Si f est surjective, B est égal a f(A), donc le résultat est clair.
Peux-tu donner un exemple typique d’algèbres A et B et d'un tel morphisme?

La linéarisation : homomorphisme d'algèbres de Lie.

[barbu23]

Pour comprendre le contexte de ma question, tu vas sur ce lien :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,772790,page=3
Et tu lances le lien pdf proposé par l'intervenant @JLT : numdam , puis tu regardes la fin de la page 4. C'est écrit là bà, ce que je ne comprends pas. Peux tu m'apporter quelques éclaircissements sur ce sujet là ? Pourquoi peut être engendré par et l'unité ?
Merci d'avance.

[Luc]

Je ne peux malheureusement pas beaucoup t'aider, je n'ai aucune connaissance en algèbres de Lie...
Je te propose de regarder ce que devient ta question dans un contexte plus simple (algebre des endomorphismes d'un K-espace vectoriel de dimension finie)