Algebre

par **vnc456** » 22 Oct 2011, 12:40

Bonjour à tous j'ai un exercice sur lequel je lutte voici l'énoncé :

Dire si chacune des affirmations est vraie ou fausse. Si elle est vraie, on en donnera la démonstration. Si elle est fausse, on indiquera pourquoi, en donnant soit un contre-exemple, soit la vrai valeur du résultat demandé.

1- Une matrice de dimension 5 et de rang 2 admet une valeur propre de multiplicité supérieur ou égale à 3

J'en déduit que dans la matrice il y a 3 vecteur qui sont proportionnelles mais je ne sait pas comment conclure que la valeur propre est de multiplicité supérieur ou égale à 3

2- Si A est diagonalisable alors sa transposée l'est aussi.

Je pense que c'est faux mais je n'ai pas trouver de contre-exemple

3-Soit A une matrice carrée de dimension 4 dont tous les déterminants extraits de dimension 3 sont nuls. Alors A n'est pas inversible.

4-Si f est diagonalisable et de valeurs propres 2 et -2 alors f^2 - 4Id=0.

5-A appartient M(indice 3)(R) admet toujours au moins une valeur propre

6-On est dans un espace vectoriel sur R. Si f vérifie f^2=-4Id alors f n'admet aucune valeur propres.

Voila j'ai vraiment beaucoup de mal avec cet exercice merci d'avance

par **elvis77** » 22 Oct 2011, 13:57

quelques indices :

1 - peut être raisonner avec la dimension du noyau et faire le lien avec qu'est ce que l'ensemble des valeurs propres ?

2 - Si tu n'as pas de contre exemple, essaie de le montrer en prenant une matrice quelconque.

3 - Une matrice non inversible veut dire quoi sur son déterminant ?

4 - Revenir à la définition d'une valeur propre et appliquer f ?

5 - Démonstration par l'absurde ? ou contraposition ?

6 - à l'aide du 4.

Bonne recherche.

par **vnc456** » 22 Oct 2011, 14:10

merci de l'aide!!!! je vais essayé tout ça et je poste ma réponse

par **laya** » 22 Oct 2011, 14:20

1 - Que peux-tu dire de la dimension du noyau ? Que représente le réel 0 pour une telle matrice ?

2 - Quelle est la relation entre les polynômes caractéristiques d'une matrice et de sa transposée, pour répondre, remarque que

. Même question pour les polynômes minimaux de M et de sa transposée.

3- Que valent les mineurs d'ordre 3 de la matrice, que donne le développement du déterminant selon, par exemple, la première ligne ?

4 - Quelle tête a le polynôme minimal d'une matrice (ou endomorphisme) diagonalisable de valeurs propres comptées avec leur multiplicité

. Autrement dit, est-il seulement scindé ou mieux : scindé simple ? Sinon, tu peux raisonner autrement en écrivant que l'espace E et somme directe des sous-espaces propres....

5 - Que peut-on dire du degré du polynôme caractéristique ? utilise la continuité d'une fonction polynomiale pour examiner l'existence d'une racine...

6 - (RQ : tu n'aurais pas oublié un signe moins, -4Id au lieu de 4Id ?, il me semble que l'esprit de la question va plutôt dans le sens

). Peux-tu exhiber un polynôme annulateur de f, quelle relation peut on donner entre ce polynôme et le polynôme minimal, quelles têtes (au pluriel) le polynôme minimal pourrait-il avoir ?

par **vnc456** » 22 Oct 2011, 14:39

Pour la 1) la dimension du noyau est de 3 (th du rang) donc 0 est valeur propre et est ce que je peut dire que Eo = espace propre associé à la valeur propres 0 et dim E0= dim kerf = 3 donc la multiplicité de 0 est 3 ???

La 2) je n'y arrive pas

La 3) je pense avoir trouver j'ai calculer le déterminant d'une matrice 4*4 en développant par rapport à une colonne et a chaque foi je tombe sur des déterminant de matrice 3*3 et on a dit qu'ils étaient tous nul donc je trouve que le der terminant =0 donc pas inversible

Pour la 4) j'ai posé v1=2 et v2=-2 les deux valeur propres donc on a f(u)=v1u <=>f(f(u))=v1^2u=4u idem pour v2 on a f(f(u))=4u est ce que je peut tout de suite en déduire f^2-4Id= 0

j'ai rectifier mon erreur d'énoncé merci

par **laya** » 22 Oct 2011, 15:55

vnc456 a écrit:Pour la 1) la dimension du noyau est de 3 (th du rang) donc 0 est valeur propre et est ce que je peut dire que Eo = espace propre associé à la valeur propres 0 et dim E0= dim kerf = 3 donc la multiplicité de 0 est 3 ???

L'énoncé parle de supérieure ou égale. Est-ce que la dimension d'un sous-espace propre quelconque est toujours égale à la multiplicité de la valeur propre correspondante. Si la réponse est non, Quels sont les endomorphismes qui vérifient cette propriété ?

vnc456 a écrit:La 3) je pense avoir trouver j'ai calculer le déterminant d'une matrice 4*4 en développant par rapport à une colonne et a chaque foi je tombe sur des déterminant de matrice 3*3 et on a dit qu'ils étaient tous nul donc je trouve que le der terminant =0 donc pas inversible

OK.

vnc456 a écrit:Pour la 4) j'ai posé v1=2 et v2=-2 les deux valeur propres donc on a f(u)=v1u f(f(u))=v1^2u=4u idem pour v2 on a f(f(u))=4u est ce que je peut tout de suite en déduire f^2-4Id= 0

La transition n'est pas si immédiate. Pour l'instant, tu n'as pas du tout utilisé la "diagonalisabilité" de ton endomorphisme. Qu'est ce qui te permet de passer de u et v à tout l'espace ? L'espace entier est somme directe de .... et .... donc tout vecteur x peut s'écrire comme somme de y et z tels que y est ... et z est ....

par **Maxmau** » 22 Oct 2011, 16:06

Bj
Pour la 2:
Si A est diagonalisable, A est semblable à une matrice D diagonale
A = P D P^(-1)
D'où en transposant .......

par **vnc456** » 24 Oct 2011, 08:39

[quote="laya"]L'énoncé parle de supérieure ou égale. Est-ce que la dimension d'un sous-espace propre quelconque est toujours égale à la multiplicité de la valeur propre correspondante. Si la réponse est non, Quels sont les endomorphismes qui vérifient cette propriété ?

heu non la dimension d'un sous-espace propre n'est pas toujours égale à la multiplicité de la valeur propres associée c'est vrai quand la matrice est diagonalisable mais je ne vois toujours pas comment conclure

par **vnc456** » 24 Oct 2011, 08:52

laya a écrit:L'énoncé parle de supérieure ou égale. Est-ce que la dimension d'un sous-espace propre quelconque est toujours égale à la multiplicité de la valeur propre correspondante. Si la réponse est non, Quels sont les endomorphismes qui vérifient cette propriété ?

Heu non c'est faux c'est vrai seulement pour les endo diagonalisable mais je ne vois pas comment conclure

laya a écrit:La transition n'est pas si immédiate. Pour l'instant, tu n'as pas du tout utilisé la "diagonalisabilité" de ton endomorphisme. Qu'est ce qui te permet de passer de u et v à tout l'espace ? L'espace entier est somme directe de .... et .... donc tout vecteur x peut s'écrire comme somme de y et z tels que y est ... et z est ....

Alors on peut dire ,E(v1) sous-espace propre associé a v1 et E(v2) sous espace propre associé a v2, que E(v1)+E(v2)=E ( + signifie somme directe) donc pour tout vecteur x de E x=y+z tq y=u et z=v avec u appartient a E(v1) et v appartient a E(v2) et comment je conclue?

par **Maxmau** » 24 Oct 2011, 09:40

Bj
pour la 1/ rappelle toi le résultat suivant:
la dimension d'un sous espace propre est toujours inférieure ou égale à la multiplicité de la valeur propre correspondante

par **vnc456** » 24 Oct 2011, 10:10

Maxmau a écrit:Bj
pour la 1/ rappelle toi le résultat suivant:
la dimension d'un sous espace propre est toujours inférieure ou égale à la multiplicité de la valeur propre correspondante

oh ba merci donc je peut tout de suite conclure grâce à cette propriété super!!!

par **Maxmau** » 24 Oct 2011, 10:22

Pour la 4/ une idée très simple
Puis que f est diagonalisable, il existe une base (formée de VP) dans laquelle la matrice de f est diagonale égale à D. Sur la diagonale de D il n'y a que des 2 et des -2 donc D² = ... et f² =...

Il y a d'autres façons d'opérer

par **vnc456** » 24 Oct 2011, 10:32

Maxmau a écrit:Pour la 4/ une idée très simple
Puis que f est diagonalisable, il existe une base (formée de VP) dans laquelle la matrice de f est diagonale égale à D. Sur la diagonale de D il n'y a que des 2 et des -2 donc D² = ... et f² =...

Il y a d'autres façons d'opérer

oh ba oui donc D^2 va etre égale a 4Id donc f^2=D^2 donc f^2 -4Id=0 encore merci!!!

et sinon j'ai pas bien compris pour la 2) le conseil que tu m'as donné :

A = P D P^(-1) si je transpose tA = tP tD Tp^-1 ce qui voudrais dire que la transposé d'une matrice à la même matrice diagonale car D=tD

par **Maxmau** » 24 Oct 2011, 12:05

vnc456 a écrit:oh ba oui donc D^2 va etre égale a 4Id donc f^2=D^2 donc f^2 -4Id=0 encore merci!!!

et sinon j'ai pas bien compris pour la 2) le conseil que tu m'as donné :

A = P D P^(-1) si je transpose tA = tP tD Tp^-1 ce qui voudrais dire que la transposé d'une matrice à la même matrice diagonale car D=tD

Attention la transposée d'un produit est le produit des transposées dans l'ordre inverse
Ceci étant rectifié il est facile de mettre en évidence une matrice Q tq: tA = Q D Q^(-1) don tA est sembable à une matrice diagonale donc.......

par **laya** » 24 Oct 2011, 12:07

Maxmau a écrit:Pour la 4/ une idée très simple
Puis que f est diagonalisable, il existe une base (formée de VP) dans laquelle la matrice de f est diagonale égale à D. Sur la diagonale de D il n'y a que des 2 et des -2 donc D² = ... et f² =...

Il y a d'autres façons d'opérer

Il y a toujours plusieurs façons d'opérer, surtout en algèbre linéaire. Il n'y a pas de mal à manipuler le polynôme minimal puisqu'on sait immédiatement que c'est

dans ce cas. Ce qui répond à la question assez vite également.

par **vnc456** » 24 Oct 2011, 12:16

D'accord merci a vous!! Et en cours nous n'avons pas vu ce qu'était un polynôme minimal.

J'essaye de faire la 5) et la 6) et je reviens vous voir avec mes réponses!!

par **vnc456** » 24 Oct 2011, 12:24

Pour la 5) je pense avoir trouvé quelque chose Le polynôme caractéristique est de degré 3 Soit p(x) le polynome Les limites en -infini et en +infini de P sont infinies et de signes opposés (selon le signe de a ( a). Comme la fonction P est continue (car polynomiale) le théorème des valeurs intermédiaires nous assure de l'existence d'au moins une racine réelle.

Mais pour la 6) je n'ai pas compris ton conseil!!

par **laya** » 24 Oct 2011, 12:43

vnc456 a écrit:Mais pour la 6) je n'ai pas compris ton conseil!!

Ok, tu peux te passer du polynôme minimal si tu ne l'as pas vu. Suppose l'existence d'une valeur propre

d'un tel endomorphisme, justifie alors pourquoi on aurait forcément

. Est-ce compatible avec le fait que f soit endomorphisme d'un espace vectoriel sur

.

par **vnc456** » 24 Oct 2011, 12:59

laya a écrit:Ok, tu peux te passer du polynôme minimal si tu ne l'as pas vu. Suppose l'existence d'une valeur propre d'un tel endomorphisme, justifie alors pourquoi on aurait forcément . Est-ce compatible avec le fait que f soit endomorphisme d'un espace vectoriel sur .

Don je suppose que pour tout vecteur x de R f(x)=v1*x avec v1 la valeur propre
donc f(f(x))=v1^2 * x or f^2=-4Id donc v1^2*x=-4*x donc v1^2=-4 or il n'y a pas de solution a cette équation dans R mais qu'est ce qui nous dit que la valeur propre ne pourrait pas être dans C ?
ah oui le fait que f soit un endomorphisme sur R veut dire que les valeurs propres doivent être réels et dans ce cas il n'y aurais pas de valeurs propres

par **laya** » 24 Oct 2011, 14:19

vnc456 a écrit:Don je suppose que pour tout vecteur x de R f(x)=v1*x avec v1 la valeur propre

Attention : ce n'est pas un endomorphisme sur R, c'est un endomorphisme d'un espace vectoriel E qui lui est sur R. Autrement dit E est un R-espace vectoriel, les vecteurs de E sont donc multipliés par des nombres réels.
C'est pas 'pour tout x' encore moins de 'R'. Il faut juste dire :
Soit x un vecteur propre (il est donc dans l'espace E, espace vectoriel sur le corps des réels R), associé à la valeur propre v, on a alors f(x) = v.x et donc f(f(x))= v^2. x. Après tu continues comme tu as fait.
Rq : à un moment donné, pour être rigoureux, tu dois invoquer l'argument "x ne peut être nul car c'est un vecteur propre donc nécessairement ..."

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