Algèbre

[Mister Red]

Bonjour j'ai un petite question dont je n'arrive pas à résoudre. Elle semble simple, en voici l'énoncé :

On considère un endomorphisme de E vérifiant la relation f²=0.5(f+Id)

On suppose que la famille (Id,f) est libre dans (L(E),+,.)

Exprimer f3 et f4 comme combinaison linéaire de f et Id.



Donc si j'ai bien compris, je compose par f :

f²of=1/2f²+1/2Id
et j'obtiens f3=1/4f + 3/4Id

Cependant c'est faux, donc je vois pas du tout l'erreur. Besoin d'aide svp !

[Nightmare]

Salut !

Id o f n'est pas égal à Id mais à f !

[Mister Red]

Merci beaucoup !

[Mister Red]

Effectivement j'avais fais cette grosse erreur.

Il y a une dernière question qui me pose problème. La voilà :

Etablir que pour tout entier naturel n, il existe un et un seul couple ( a(n),b(n) ) de réels tel que :

f"exposant"n = a(n)*f + b(n)*Id

Exprimer a(n+1) et b(n+1) en fonction de a(n) et b(n)



Comment peut-on démontrer l'existence de cette relation en fait ?


Puis pour exprimer a(n+1) et b(n+1) en fonction de a(n) et b(n) j'ai trouvé mais par simple déduction. J'ai donc essayé de les démontrer par récurrence mais le problème c'est que je n'ai pas a(n) et b(n) en fonction de n. Je dois surement utiliser f"exposant"n mais je ne vois pas comment...

[Ben314]

En fait, l'existence et la formule qui donne a(n+1) et b(n+1), tu le fait en même temps en faisant une récurrence.
C'est du "copier collé" de ce que tu as fait pour f^3.

Pour l'unicité, comme trés souvent, par l'absurde...


Edit : j'avais pas lu la fin de ton post.
Pour le moment rien ne te demande de trouver an et bn en fonction de n.
On te demande seulement de montrer qu'ils existent et sont uniques !

[Mister Red]

Ok merci Ben !