Algèbre

[Mister Red]

Bonjour tout le monde, j'ai besoin de votre aide pour cet exercice de math s'il vous plait.


1. Montrer que H(n)= Somme(de k=1 à n)de 1/k diverge vers +infini sachant que H(2n) - H(n) >= 1/2

2. Montrer que pour tout x > -1 : ln(1+x) <= x


Merci d'avance.

[Arkhnor]

Salut.

1) La suite est croissante, soit elle converge vers un nombre réel, soit elle diverge vers l'infini.
Or elle ne peut pas converger à cause de l'inégalité que tu mentionnes. (passe à la limite dans cette inégalité)

2) Fais une étude de fonction.

PS : T'es sur que c'est de l'algèbre ? ...

[Nightmare]

Salut,

1)Si (Hn) converge, que dire de la limite de H(2n)-H(n) ?

2) Calcule l'équation de la tangente à la courbe représentant x->ln(1+x) au point 0 et utilise la concavité de ln.

[Mister Red]

Merci pour ces réponses rapides.

Questions comprises et effectuées merci à vous.

Comment montrer ensuite que ln(n+1) - ln(n) <= 1/n pour n>=1 ?
et que ln(n) - ln(n-1) >= 1/n pour n>=2 ?

[Nightmare]

Dans l'inégalité du 2) prends x=1/n !

[Mister Red]

Ok d'accord.

On doit ensuite établir l'inégalité suivante pour n>=1 :
ln( n + 1 ) <= H( n ) <= ln( n ) + 1

Dois-je procéder par récurrence ?

[Nightmare]

Elle se déduit de la dernière inégalité que tu as montré, en sommant pour n variant.

[Mister Red]

Ok j'ai fais je pense que c'est bon.


Soient les deux suites : A(n) = H(n) - ln(n+1) et B(n) = H(n) - ln(n)

J'ai démontré que les suites convergées vers la même limite, constante d'Euler Gamma.
Par contre j'ai du mal à comprendre la question : Justifier la relation H(n) = ln(n) + Gamma + o(1)

Qu'est-ce que signifie ce o(1) et à quoi correspond-il ?

[Arkhnor]

Une suite est un si elle tend vers 0. (notation de Landau).

Plus généralement, si et sont deux suites telles que ne s'annule plus à partir d'un certain rang, on dit que si le rapport tend vers 0.

[Mister Red]

Oui d'accord. Mais plus précisément dans la question posée, je dois donc chercher une suite qui tend vers 0 ? Et telle que H(n) = ln(n) + Gamma + o(1) ?

[Nightmare]

Il s'agit simplement de monterr que H(n)-ln(n)-gamma tend vers 0, ou autrement dit que H(n)-ln(n) tend vers gamma, ce que tu as déjà fait :happy3:

[Mister Red]

D'accord mais en langage français, qu'est-ce qu'on a montré et qu'est-ce que veut dire H(n) = ln(n) + Gamma + o(1) ?

[Nightmare]

Arkhnor te l'a expliqué. Etre un o(1) (lire "être un petit o de 1") veut simplement dire tendre vers 0.

Ecrire qu'une suite est égal à o(1) n'est pas une égalité formelle, au sens où on peut écrire que 1/n=o(1) et 1/n²=o(1) (puisque les suites 1/n et 1/n² convergent vers 0) sans pour autant que 1/n=1/n² évidemment.

[Mister Red]

Donc en fait H(n) = ln(n) + Gamma + o(1) ou bien H(n) - ln(n) - Gamma = o(1) traduit le fait que la suite H(n) - ln(n) - Gamma tend vers 0 c'est ça ?

[Nightmare]

exactement !

[Mister Red]

J'ai déjà bien avancé sur l'exercice, mais il se trouve que je suis dubitatif sur une propriété.


Est-ce que si une suite S(n) converge vers l alors la suite S(2n) converge vers l ? La réciproque est-elle vraie ?

Il me semble que oui mais je ne suis pas sur...

[Arkhnor]

Oui, est une sous-suite de , et si une suite converge, toute sous suite converge vers la même limite.

Pour la réciproque, je te laisse méditer l'exemple de .

[Mister Red]

Ok je vois merci Arkhnor.

Et dernièrement, selon la parité de n, établir que : |S(n) - L|<= 1/(n+1)

avec lim S(n) = L = ln(2)


Comment procéder ?

[Nightmare]

Salut, c'est qui S ?

[Mister Red]

Oups oui c'est vrai, S(n)= Somme de k=1 à n de [(-1)^(k-1)]/k

En amont, j'ai démontré que S(2n) et S(2n+1) étaient adjacentes, que S(2n)=H(2n)-H(n) et que lim S(n) = L = ln(2)