Algèbre Bilinéaire

[mamas67]

Bonjour,

Je viens de commencer l'algébre bilinéaire cette semaine, et j'ai un peu de mal à faire un exercice

On a l'application phi, qui a tout polynome P et Q de Rn[x] associe intégrale de 0 à + inf de P(t)Q(t)exp(-t) dt.
q
Faut d'abord montrer que c'est un produit scalaire , ca j'ai réussi =)

Mais ensuite, on pose T(X)= 1 + X^n/n!
et on me demande de calculer la norme euclidienne de T
La je bloque sec ... ca me donne un truc franchement bizarre ...

Ensuite on pose I = T/norme (T) et teta l'application qui a P associe 2phi(P,I)I-P
Et me demande de montrer que téta est un automorphisme, en calculant téta^²
J 'ai retourné la formule dans absolument tous les sens, mais je tourne en rond à chaque fois ...

Si qqu pourrait m'aider, ou au moins me donner des pistes, ce serait franchement sympa ... =)
Merci =]

[fatal_error]

hello,

T(X)= 1 + X^n/n!

je présume que la norme euclidienne de P, c'est si P est défini par
P(p_0,p_1,p_2,...,p_n) (avec p_0 le coeff constant, p_1 devant x, p_n devant x^n)


du coup ton T s'écrit
T(1,...,x^n/n!) et

theta^2 jprésume c'est theta o theta
idem mq
theta(theta(P)) = P, cqui voudrait dire que theta est un endormorphisme (il envoit des polynomes dans les polynomes) et un isomorphisme car qqsoit U=theta(P), on peut renvoyer U dans nos polynomes à la base via theta(U)==P

enfin essaie de simplifier theta(theta(P)) puis après advienne que pourra!

[mamas67]

Ouais c'est bon, il me semble avoir plus ou moins compris pour la norme de T : je suis arrivé a un résultat ( a peu près ) comme le tien =]
Par contre, pour le théta^² y a pas grand chose qui est advenu en simplifiant ... ^^

[fatal_error]

Calcul de theta(P)=U:
(j'appèle phi: f)


Calcul de theta(theta(P))=S:


linéarité de f: on décompose en somme


linarité de f : on sort le scalaire


on simplifie f(I,I) = 1, car I est normé
car:----
on a calculé la norme euclidiennede I je sais pas trop pourquoi, mais ca marche aussi pour la norme associée à ton produit scalaire phi.

et
avec N la norme associée à phi

fincar:-----

[mamas67]

Merci =]
Je vais essayer de comprendre tout ça

[zygomatique]

salut

[quote]du coup ton T s'écrit
T(1,...,x^n/n!) et

étonnant de trouver la variable dans la norme ....

[fatal_error]

ui... faut remplacer par x par 1 discrètement
enfin bon reste en suspend que je vois toujours pas à quoi sert cette question

[zygomatique]

ui... faut remplacer par x par 1 discrètement
enfin bon reste en suspend que je vois toujours pas à quoi sert cette question

elle sert à "normaliser" le polynome T transformé en I .... je présume ....

d'ailleurs tu l'as dit ici ::

on simplifie f(I,I) = 1, car I est normé

mais ces notations peu usuelles ne m'invitent pas à regarder dans les détails ....

et en même temps je ne suis pas sur que tu ai raison avec le produit scalaire f .... faut voir ....

[fatal_error]

la norme euclidienne, sauf erreur, elle a rien à voir avec phi... (moyennant l'équivalence)
et ce qu'il aurait fallu normer c'est
I = T/sqrt(phi(T,T))

donc dans mon --car, je manipule deux N différents, l'un qui réfère à la norme euclidienne, l'autre qui réfère à la norme associée à phi... c'est pas bon.

du coup faut revoir le calcul de f(I,I)

[mathelot]

si tu veux faire de l'algèbre bililinéaire, lis le "Deheuvels"

[Ben314]

Salut,

A mon avis, la "norme euclidienne", vu le contexte, c'est celle associée au produit scalaire ,
c'est à dire que, pour tout .
Donc

Car (par récurrence sur ).

[fatal_error]

oui ca a plus de sens de prendre N(t)=sqrt(phi(t,t)), je saurai que ca peut s'appeler norme euclidienne mais du coup, je vois pas à quoi ca sert de calculer cette norme vu que au final on se sert pas du résultat calculé

[mamas67]

Désolé, je suis un petit peu embetant , mais je bloque de nouveau sur une question d'algèbre blinéaire ...
Alors voila :

On considère Rn[X] muni du produit scalaire < , > definit par :

(P,Q) appartient a Rn[X], < P, Q > = somme pour i allant de 0 à n des ai*bi
où P=somme pour i allant de 0 à n des ai*X^i
et Q = somme pour i allant de 0 à n des bi*X^i

On me demande de montrer que B= ( 1,X, ..., X^n ) est une base orthonormée de Rn[X] pour ce produit scalaire.

Montrer que B est une base, ca c'est évident.
Faut donc montrer que c'est une famille orthonormée. Et là je bloque :
j'arrive pas à comprendre comme pour k appartenant à [ 0, n-1 ] < X^k, X^(k-1) > = O
et encore moins comment la norme de X^k vaut 1 ... ( avec norme ( X^k ) =squart < X^k, X^k >

En effet, étant donné que le produit scalaire est une somme de quelque chose, je comprend pas comment cette somme peut valoir 0 ( pour montrer que les vecteurs sont orthogonaux ) ou 1 ( pour montrer que les vecteurs sont normés )

Si qqu pouvait m'aider ce serait vraiment sympa =]

[fatal_error]

alors,
je me préoccupe pas de ton raisonnement, j'applique uniquement les points où tu bloques:
= O
ici, on a P = X^k = somme a_iX^i, avec a_i = 1 seulement pour i = k, en particulier a_{k-1} = 0
de même Q = X^{k-1} = somme b_jX^j avec b_j = 1 seulement pour j= k-1, en particulier b_k = 0
le produit scalaire donne donc
= somme a_ib_i = 0 + ... + a_kb_k + a_{k-1}b_{k-1} + 0... = 1*0 + 0*1 = 0

norme ( X^k ) =squart
est assez similaire, tu prends P(0,...,1,0...) (1 pour le kieme coefficient
evidemment = 0*0+...+1*1+0*0 (ou ya des 1 pour le kieme terme)
puis sqrt(1) = 1

ps:

Si qqu pourrait m'aider

si quelqu'un pouvait, ce serait..