Algebre bilineaire, reduction des formes qudratiques

[ericsteph]

Bonjour, concernant la reduction des formes quadratiques, franchement je bloque,

notre prof nous a exposé deux methodes, celle de gauss, je l'ai quelque peu comprise,

il ya aussi la methode qui utilise les matrice symetrique diagonalisable, en passant par la methode, de gramm schmidt

je m'explique: on ecrit la matrice, de la forme quadratique, par gramm schmidt, on trouve une matrice a partir de celle la, qui est orthogonale (Ptransposée=P inverse)

apres je ne sais pas comment faire, pour trouver le dernier resultat c a dire

Q(V)= lambda1 (L(V1)²) +....+ lamda n(L(Vn)²)

les lamda sont les valeurs propres de la matrice,

merci

[alavacommejetepousse]

bonsoir

Q est -elle un produit scalaire ?

[ericsteph]

Euh en fait, pour trouver la matrice orthogonale, on suppose qu'on a un produit sclaire = somme (XiYi)

mais Q est une forme quadratique quelconque,
sa matrice est bien sur diagonalisable,

voila ce quie st ecrit dans mon cours
Mdiagonalisable, il existe une matrice P formée des vecteurs propres

D=Pinverse *M*P D continet que les valeurs propres donc...

q(V)=Vt * M * V (Vt= V tranposée) => c'est lecriture matricielle de q


Et la j'ai pas compris ce qu'il a fait pour rendre l'ecriture comme ca:

(W1 W2.......Wn) * D *
(W1
W2
.
.
Wn)

= lambda1 W1² +.........+ lambda n Wn²

Wn= L n

[alavacommejetepousse]

il n ' y a pas gram schmidt ici
q quelconque
q(X)= tX M X

M est diagonalisable en bon

M = PDtP

q(X) = tXP D tPX en posant tPX = W

q(x) = tW D W = sigma lambdai Wi^2 puisque D est diagonale

[ericsteph]

Ce que vous dites est logique, mais je vous assure que dans mon cours, on parlait dee gramm schmidt a la matrice P (matrice des vecteurs propres de M).........

[alavacommejetepousse]

Ce que vous dites est logique, mais je vous assure que dans mon cours, on parlait dee gramm schmidt a la matrice P (matrice des vecteurs propres de M).........

logique c est déjà ça
mais as tu compris
ai je répondu ?

(gram schmidt c 'est orthogonaliser une base en respectant les sev imbriqués il faut un produit scalaire et la matrice P ne sera pas orthogonale (mais triangulaire)sinon la base de départ était déjà orthonormée)

[ericsteph]

Re,

Pour ecrire M= P D tP il faut d'abord, que P inverse= tP

or la matrice P formée de vecteurs propres, n'est pas orthogonale a coup sur,

donc d'apres mon cours, c'est ecrit SI l'on peut construire de P une matrice orthogonale,


alors on en revient ta votre ecriture, jusqu'a obtenir la forme de somme de carrées...

donc on applique gramm schmidt a la matrice P pour en construire une nouvelle orthogonale (par rapport au produi scalaire, = somme de XiYi)

[alavacommejetepousse]

tu mélanges

- si on gram schmidt on passe d 'une base (canonique par exemple) à une base orthonormée pour le produit scalaire défini par q ( ds l 'hypothèse où on a bien un produit scalaire) et dans ce cas P la matrice de passage est triangulaire et non orthogonale
(sauf si la base de départ est déjà une bon)
- si on diagonalise l 'endo symétrique associé on peut le faire en bon par rapport au produit scalaire canonique et P est orthogonale

[ericsteph]

Re re, tu as l'air tres calé en algebre bilineaire, c'est pour cela que je voudrais pas te lacher lol,

j'ai essayé un exemple concret, et voila ce que j'ai fait, exactement, (et j'ai bien verifié a la fin, en developpant les sommes de carrées, que je ne me suis pas trompé)

1- j'avais une forme, quadratique, j'ai ecrit la matrice associée (3*3 dans mon cas)
2- j'ai cherché les valeurs propres, puis vecteurs propres, que j'ai mis dans une matrice P (relativement a la base CANONIQUE)
3- j'ai utilisé la methode gramm schmidt a cette matrice (P) [but: trouver une matrice orthogonale, a partir de P], et j'ai trouvé la matrice orthogonale en question, (par rapport au produit scalaire = somme XiYi)

[on verifie bien a la fin, que les vecteur de P1 sont orthogonaux deux a deux, et chaque vecteur est normé!]

j'ai nommé cette matrice P1 (puisque P1 orthogonale, donc tP1= P1 inverse)

4- puis j'ai mis W= tP1 * V (V est le vecteur colonne x1, x2, x3 dans mon cas)

5-puis j'ai la forme q(W)= lambda1 (W1)² + lambda2 (W2)² + lambda3 (W3)²

j'ai developée cette ecriture, et j'ai retrouvé l'ecriture de la forme quadratique de depart,

alors qu'en penses-tu?!

[alavacommejetepousse]

je ne comprends pas trop

si tu diagonalises ta matrice symétrice pourquoi ne le fais tu pas directement avec une base orthonormée ? ton P initiale sera orthogonale sans rien à faire de plus

[ericsteph]

Re, est-il possible de discuter avec toi, par msn??!!!!

[alavacommejetepousse]

non désolé

le forum est là pour ça