Algébre bilinéaire...

[thedream01]

Bonjour tout le monde!
Je suis nouveau sur ce forum et je vous propose un exercice...

Existe-t-il une forme bilinéaire symétrique non dégénérée F sur R^3 et un plan H dans R^3 tels que la restriction de F à H soit nulle.

[serge75]

tu veux parler de sa restriction à H² ?
car forme bilinéaire : 2 variables ; H : une variable.

[thedream01]

Un petit classique:
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie n et m respectivement, Q une application linéaire de E dans F. On suppose que Q est de rang 1.
Déterminez la dimension du noyau de la transposée de Q.

[thedream01]

oui oui, à H²

[serge75]

réponse à ton premier exo : non en utilisant une base orthogonale pour F construite à partir d'une base orthogonale de H. sa signature apparaitrait alors être (0,1) ou (1,0), donc dégénérée.

PS : s'agit-il d'une demande d'aide ou de défis que tu nous poses ? S'il s'agit de défis, intitule-le comme tel, et je me laisserai au moins le droit de ne pas chercher à y répondre.

[thedream01]

Non non, ce ne sont pas des défis!
Je n'en ai pas la prétention!
Il n'y a jamais qu'une seule façon de résoudre des problèmes de maths. Et j'aime bien voir les idées qu'ont les autres personnes en résolvant des exercices. Je trouve que c'est bien d'apprendre de nouvelles techniques, ça peut toujours servir!
tu es d'accord?

[sandrine_guillerme]

PS : s'agit-il d'une demande d'aide ou de défis que tu nous poses ? S'il s'agit de défis, intitule-le comme tel, et je me laisserai au moins le droit de ne pas chercher à y répondre.

piourquoi donc serge?

[fahr451]

bonjour

exo 2 réponse m-1

[thedream01]

En effet!
Mais j'aimerai bien voir ta méthode stp.

[fahr451]

heu

Q a n colonnes et m lignes donc représente une aplication linéaire de R^ndans R^m

et pour t Q c'est de R^m ds R^n
Q et t Q ont même rang le théorème du rang permet de conclure

[thedream01]

moi je me suis compliqué la vie en considérant tQ comme application linéaire de F* dans E*...

[fahr451]

il n'y aucune différence

[thedream01]

Sinon, j'ai un problème là. Je n'arrive pas à voir la solution à cet exo. Je suspecte une erreur dans l'énnocée:

Soit E un espace vectoriel de dimension n.
Soit q une forme quadratique non dégénérée sur E et B sa forme polaire. Soit V un sous-espace vectoriel de E sur lequel q est nulle: pour tout v dans V, q(v)=0.
On suppose que V n'est pas nul, c'est-à-dire qu'il existe un vecteur v non nul tel que q(v)=0.
Soit v1 un vecteur non nul de V. Montrer qu'il existe un vecteur u1, indépendant de v1 tel que B(u1,v1)=1 et q(u1)=0.

Remarque: auparavant, j'ai montré que dim(V) est inférieur ou égale à n/2.

[fahr451]

v-> B(u1,v) est une forme linéaire non nulle car B est non dégnérée donc surjective soit v tel que B (u1,v) = 1 si q(v) = 0 v1 = v convient

sinon prenons v 1 = v +tu1 avec t réel à choisir on a B(u1,v1) = B(u1,v+tu1) = 1

et q(v1) = q(v) +t^2q(u1) +2tB(u1,v) = q(v) +2t et t = -q(v) /2 convient

[thedream01]

merci beaucoup!
Je n'avais vraiment pas pensé à faire comme ça!

[thedream01]

Bonjour!
Il me semble qu'il y a une erreure dans ta démonstration fahr451, le u1 ne doit pas dépendre de v1...

[fahr451]

en fait j 'ai interverti u1 et v1 dans l'ordre des données

je reprends

u -> B(u,v1) est surjective

soit u tel que B(u,v1) = 1 si q(u) = 0 on prend u1 = u

sinon on prend u1 = u+tv1 avec t bien choisi

la famille (u1,v1) est libre donc u1 est indépendant de v1

en revanche puisque dans l'énoncé u1 vient après v1 il "dépend "donc de tout ce qui prècède donc de v1"


sinon l énoncé ne serait pas celui là mais

montrer qu 'il existe u1 dans v tel que pour tout v1 non nul dans V
B(u1,v1) = 1

ce qui est faux bien sûr en prenant v1 = u1

[thedream01]

Je te remércie fahr451..