Algèbre bilinéaire

par **yos** » 03 Fév 2007, 10:04

Une partie libre maximale est une base.
(maximale=dont le nombre d'éléments égale la dimension de l'espace, ici 2).

par **minidiane** » 03 Fév 2007, 10:16

Ok merci yvos.
Pour montrer que c'est une base duale j'utilise le fait que phi1(P1)=1, phi1(P2)=0 et phi2(P1)=0 , phi2(P2)=1. C'est bien sa?

par **yos** » 03 Fév 2007, 10:48

Ben si je relis l'énoncé que tu as mis, c'est à toi de trouver

et

. Mais c'est facile :

, son intégrale de 0 à 1 vaut 1 et son intégrale de 0 à 2 vaut 0. Du calcul pour trouver a et b.

par **minidiane** » 03 Fév 2007, 10:50

Donc je dois calculer f1(P1) et f2(P1) pour trouver a et b c'est bien sa?

par **yos** » 03 Fév 2007, 10:53

Oui c'est ça.

par **minidiane** » 03 Fév 2007, 10:54

ok merci j'ai trouver a=2 et b=-2. Donc P1(x)=2-2x.
Et je dois procéder de même pour p2 je pense.

par **minidiane** » 04 Fév 2007, 13:16

Sinon j'ai un problème pour un aute exercice. Voici l'exo.

Soit V l'espace vectoriel des polynômes sur R de degré inférieur ou égake à 2 et soeibt phi1,phi2 et phi3 les formes linéaires définies par f1(P)=intégrale de 0 à 1 de P(t)dt , f2(P)=P'(1) et f3(P)=P(0), où P' est la dérivée de P.
Vérifier que {f1,f2,f3} est une base de V*. Trouver la basee {P1,P2,P3} de V telle que {f1,f2,f3} en soit la base duale.

Je sais que c'est le même type d'exercice qu'avant mais je n'arrive pas à vérifier que{f1,f2,f3} est une base de V*.
ici dimV=dimV*=3
Pour montrer que f1 , f2 , f3 est une base de V*, il suffit de montrer que ces 3 formes sont indépendantes.
af1+bf2+cf3=0
Ceci signifie que:
af1(P)+bf2(P)+cf3(P)=0 pour tout P de V
Je pense qu'il faut prendre P=1 puis P(t)=t et enfin P(t)=t²
Mais j'ai un soucis avec P'(1) et P(0) vu que je ne sais pas ceux qui valent.
Pouvez vous m'aider encore un peu?
Merci.

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