Algèbre bilinéaire

[minidiane]

Bonjour je n'arrive pas à faire ces deux exercices pouvez vous m'aider? Merci.

Exercice1

Soit phy la forme linéaire de R^2 définie par phy(2,1)=15 et phy(1,-2)=-10. Trouver phy(x,y) et en particulier phy(-2,7).

Exercice2

Soit {v1=(1,-1,3),v2=(0,1,-1),v3=(0,3,-2)} une base de R^3. Trouver la base duale.
Je n'est pas trop compris ce qu'est une base duale.

[jose_latino]

Bonjour,
Pour trouver il suffit d'exprimer (-2,7) comme combinaison linéaire des vecteurs (2,1) et (1,-2), car, comme est linéaire et , , où a et b sont des scalaires., donc .

[yos]

1) 2a+b=15 et a-2b=-10 donc ...

2) Tu cherches trois formes linéaires telles que . C'est immédiat puisqu'une application linéaire est définie par l'image d'une base.

[jose_latino]

Soit un espace vectoriel de dimension finie. Si est une base de , la base duale est l'ensemble des fonctions coordonnées par rapport à , ça veut dire s'on applique à un vecteur on retrouve le coefficient du vecteur lorsque on exprime en fonction de cette base.

Exemple: où est une base de , la base duale est , on va trouver la règle de correspondence, comme:

donc,

[minidiane]

Merci de m'aider c'est gentil à vous.

1) j'ai trouvé phy(x,y)=4x+7y
mais je n'arrive pas à trouver phy(-2,7) même avec la manière de jose_latino

2)Je comprend toujours pas comment je dois faire :mur:

[jose_latino]

Exemple: où est une base de , la base duale est , on va trouver la règle de correspondence, comme:

donc,

Si tu as compris l'exemple tu peux le faire: exprime un vecteur quelconque (x,y,z) de comme combinaison linéaire de . Écris le résultat ici et on continuera...

[minidiane]

Exemple: où est une base de , la base duale est , on va trouver la règle de correspondence, comme:

donc,

Pourquoi on à un 1/2?

[minidiane]

Sinon j'ai écrit f1(x1,x2,x3)=x1-x2+3x3
f2(x1,x2,x3)=x2-x3
f3(x1,x2,x3)=3x2-2x3
Meis je ne sais pas si c'est possible faire sa et après je suis bloqué

[jose_latino]

Pourquoi on à un 1/2?

En fait, tu peux trouver ces coefficients en résoudrant le système d'équations:
, sinon tu peux le vérifier les opérations directement.

[minidiane]

Désolé je ne vois pas comment on trouve les coefficients.

[sandrine_guillerme]

Pourquoi on à un 1/2?

Salut José, Salut minidiane

ce n'est pas tout simplement en cours qu'on a ça ? pour la polarisation en générale?

je sais pas, je débute encore en algèbre bi, mais c'est comme ça que je vois les choses moi !

[minidiane]

Salut Sandrine.

Je ne sais pas j'ai eu un seul cours d'algèbre bilinéaire pour l'instant et on a une feuille d'exos à faire et pour l'instant je galère.

[yos]

Le 1) c'est OK je crois?

Pour le 2), tu as trois formes linéaires à trouver. La première, que je note doit valoir 0 en et en , et doit valoir 1 en . En principe on pourrait s'arrêter là puisque la forme est déterminée par l'image de la base . Cependant, il est vraisemblable qu'on veuille la matrice de dans la base canonique, c'est-à-dire qu'on veut f(x,y,z) pour (x,y,z) dans .
On pose f(x,y,z)=ax+by+cz. On a donc b-c=0, 3b-2c=0, et a-b+3c=1. Si tu ne trouves pas a,b,c avec ça...
Pareil pour .

[jose_latino]

En fait, tu peux trouver ces coefficients en résoudrant le système d'équations:
, sinon tu peux le vérifier les opérations directement.

te donne un système d'équations;


En résoudrant ce système tu trouveras A et B

[minidiane]

Le 1) c'est OK je crois?

Pour le 2), tu as trois formes linéaires à trouver. La première, que je note doit valoir 0 en et en , et doit valoir 1 en . En principe on pourrait s'arrêter là puisque la forme est déterminée par l'image de la base . Cependant, il est vraisemblable qu'on veuille la matrice de dans la base canonique, c'est-à-dire qu'on veut f(x,y,z) pour (x,y,z) dans .
On pose f(x,y,z)=ax+by+cz. On a donc b-c=0, 3b-2c=0, et a-b+3c=1. Si tu ne trouves pas a,b,c avec ça...
Pareil pour .

Ok je crois que j'ai compris merci yvos et pour le 1) c'est bon

[minidiane]

J'ai un problème pour un autre exercice voici l'exercice.

Soit V l'espace vectoriel des polynômes sur R de degré inférieur ou égale à 1 et soient
f1(P)=intégrale de 0 à 1 de P(t)dt et f2(P)= intégrale de 0 à 2 de P(t)dt.
Vérifier que {f1,f2} est une base de V*. Trouver la base {P1,P2} de V telle que {f1,f2} en soit la base duale.

Voilà je ne sias pas comment vérifier que {f1,f2} est une base de V*.
Pouvez vous m'aider? Merci

[yos]

Il suffit de prouver que c'est une partie libre. En effet, la dimension de l'espace est 2.
Pour ça, tu écris et tu l'appliques à deux polynômes particuliers (1 et X) et tu en tires des relations entre a et b qui mènent à a=b=0.

[minidiane]

Je dois calculer f1 et f2 en prenant d'abord 1 comme polynôme puis x ou je dois prendre par exemple pour f1 1 et pour f2 x?
Je ne sais pas si j'ai été très clair.

[yos]

et tu ne peux pas les choisir. Mais tu peux choisir le polynôme P auquel on les applique.
Si , c'est que pour tout polynôme P, , en particulier avec P=1, ça te donne , c'est-à-dire a+2b=0. Ensuite tu recommences avec X à la place de 1. ...

[minidiane]

D'accord j'ai compris merci.
Je trouve donc a+2b=0 et 1/2a+2b=0 et ce système me donne donc a=b=0.
Ce qui prouve donc que c'est un espace libre.
Cela montre donc que c'est une base ou il faut encore montrer autre chose pour montrer que c'est une base?