Algèbre bilinéaire | Phi non-dégénérée, q définie

[Murene]

Bonjour,

je fais des révisions avec ce poly.

Pas à l'aise avec la Définition 14 (où il doit manquer ∀x∈E). J'aurais préféré qu'on dise: Ker q={x∈E| q(x)=0}. Ainsi, la définition 17 deviendrait q définie <=> Ker q={0}.

La Définition 14 est-elle standard? Si oui, où réside son intérêt?

[Ben314]

Salut,
La définition 14 est "on ne peut plus standard" et elle n'est pas du tout équivalente à q(x)=0.
Et son "intérêt", ben c'est le même que celui du noyau d'une application linéaire : si le noyau est réduit à {0}, ta forme quadratique va être dite "non dégénérée" et avoir pas mal de propriétés (par exemple en ce qui concerne la dimension des orthogonaux des s.e.v.) qu'elle n'a pas sinon. Bref, tu as des tonnes de théorème qui vont commencer par "si c'est non dégénéra alors . . ." (*)

Soit définie par
a) Montrer que est une forme bilinéaire symétrique. Quelle est la forme quadratique associée.
b) Déterminer le noyau de , c'est à dire
c) Déterminer le cône isotrope de c'est à dire . Est-il égal au noyau ? Est-ce un s.e.v. de ?

Sinon, (mais ça risque d'être un peu théorique pour toi), une forme bilinéaire sur c'est en fait une application linéaire de dans l'e.v. des formes linéaires sur (i.e. des applications linéaires de dans le corps de base ). Plus précisément, avec ce point de vue, l'image d'un (et d'un seul) de par , c'est la forme linéaire et ce que désigne c'est le noyau de l'application linéaire (et pas bilinéaire) de dans .

(*) Et avec le point de vue des applications de E dans E', si tu est en dimension finie et que ta forme quadratique est non dégénérée,elle te fourni un isomorphisme entre E et son dual E'.

[Murene]

OK, merci, mais je n'ai pas dit, ni pensé, qu'il y avait équivalence entre Définition 14 et q(x)=0. C'est d'ailleurs l'objet de la Remarque suivant Proposition 18. Je dis qu'il aurait plus simple de définir Ker q={x|q(x)=0} et utiliser un autre nom, par ex, Ker Phi (?) = {y|∀x, phi(x,y)=0}. Dailleurs il semble bien que vous ayez fait cette modification par vous même.

[Ben314]

Non, sur le principe, ça serait une très mauvaise idée d'appeler le cône isotrope (i.e. l'ensemble des X tels que q(X)=0) le "noyau" de quelque chose : ce terme de noyau est exclusivement réserve aux "morphismes de la structure", c'est à dire dans le cas de l'algèbre linéaire, aux applications linéaires.
Par contre que l'ensemble des X tels que, pour tout Y on ait phi(X,Y)=0, que tu le note Ker(phi) où Ker(q), ça n'a pas grande importance. Effectivement au niveau "pur logique", c'est plutôt Ker(phi) que Ker(q), mais quelque part phi et q c'est plus ou moins "le même objet" (les formules de polarisation te permettent de retrouver phi connaissant q).

Enfin bref, l'ensemble des X tels que q(X)=0 (c'est à dire le cône isotrope), il faut surtout pas commencer à dire que c'est le noyau de quelque chose sinon tu risque de complètement t'emmêler les pinceaux le jour ou tu verra des structures un peu compliquées. (et l'autre intérêt d'appeler ça comme tout le monde un "cône", ben déjà, c'est que dans R^3, c'est effectivement très souvent un cône est aussi que c'est avec des truc du style q(X)=constante qu'on définie les "coniques" : paraboles, ellipses et hyperboles)

[Murene]

La forme bilinéaire phi induit une forme linéaire dans son dual, dont le noyau est identique à {q(x)=0}. Si cette assertion est vraie, il serait légitime de définir Ker q = {q(x)=0}. Quoiqu'il en soit, la Définition 14 porte à confusion, et il vaut mieux s'en tenir à Ker phi = {x: qqs y, phi(x,y)=0}, où phi forme polaire associée à la forme quadratique q.

[Murene]

Ben34, je m'attendais à ce que vous rebondissiez sur mon dernier message dans cette discussion. Vous aurait-il échappé?

[Kolis]

Bonjour !
Que veut dire "...induit une forme linéaire dans son dual" ?
L'ensemble des vecteurs isotropes n'est pas, sauf cas particulier, un sous-espace vectoriel : il y a donc peu de chances que ce soit un "noyau" d'application linéaire!

[Murene]

Remplacez "induit" par "est associé à".