AIde pour une preuve - convergence faible dans lp

[Boris2012]

Comment montrer qu'une suite d'éléments de lp(N) convergeant faiblement vers 0 est uniformément majorée en norme lp ?

[jojo85]

Voici le problème

Soit a et b des nombres réels, et Z=a+ib un nombre complexe. On rappelle que a= Re(z) est la partie réelle de z, et que b= Im(Z) est la partie imaginaire de z.
On considère la suite de nombres complexes (Zn). Pour tout nombre entier naturel n, on pose : Xn= Re(Zn) et Yn= Im(Zn).
La suite (Zn) vérifie Z0=1 et pour tout nombre entier naturel n :
- X(n+1)=Xn+Yn
- Y(n+1)=-Xn+Yn

1. Calculer Z1 et Z2
2. Vérifier que Z2/Z1=Z1/Z0.
3. Simplifier Z(n+1)/Zn en utilisant les expressions respectives de X(n+1) et Y(n+1) en fonction de Xn et Yn.
En déduire qu'il existe un nombre complexe a tel que, pour tout nombre entier naturel n, Z(n+1)=aZn.
4. On définit la suite de nombres réels (Un) en posant, pour tout nombre entier naturel n, Un=|Zn|.
En utilisant les expressions respectives de X(n+1) et Y(n+1) en fonction de Xn et Yn, exprimer U(n+1) en fonction de Un.
Que peut-on en déduire pour la suite (Un) ?
5. Le plan est muni du repère orthonormé (O; u (vecteur) ; v (vecteur)).
Pour tout n dans l'ensemble N, on note Mn le point d'affixe Zn.
A l'aide d'une calculatrice, déterminer le plus petit entier naturel n pour lequel OMn>(ou égal)10^10.


1- Z1 j'ai trouve 1-1i
Z2 j'ai trouvé -2i
2) j'ai trouvé 2i

Je ne sais pas si j'ai bon j'ai besoin d'aide je suis vraiment bloqué ...