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Bonjour, Soient a, b, c trois entiers tels que a^2=b^2+c^2 . Je cherche à montrer que b ou c est un multiple de 4. La seule solution que j'ai trouvée consiste à étudier les carrés modulo 16 (ce qui est passablement long et pénible à écrire). Aussi, je me demande s'il n'y a pas une méthode plus rapid...

Bonjour, Je bute sur une question a priori simple : déterminer l'angle entre les vecteurs v_1= \frac{2}{3}(1,1,1) et v_2=(1,0,1) . En écrivant le produit scalaire de deux manières différentes, on obtient \cos (v_1,v_2)=\frac{\sqrt{6}}{3} ... ce qui donne a priori deux solutio...

En posant u=\sin(t) , je me retrouve en fait à intégrer \cos^4(t) (et ça, je sais faire en faisant une IPP). Mais est-ce que je ne suis pas compliqué la vie en faisant tout ça ? (le coup de faire disparaître les fonctions trigo pour les faire réapparaître aussi sec me laisse un peu p...

Merci pour vos réponses. Je suis d'accord sur le fait que le crochet fait bien \sin(2x)(\cos x +\sin x) + 2 \sin^2(2x) (\cos x +\sin x) Ensuite, si je pose u=\sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin\left(x - \pi/4\right) , j'obtiens du=\left[\cos(x) + \sin(...

Bonjour, Je cherche à calculer l'intégrale suivante : \int_0^{\pi/2}\left[2 \cos^2(x)\sin(x) + 8 \cos^3(x)\sin^2(x)+2 \cos(x)\sin^2(x) + 8 \cos^2(x)\sin^3(x) \right]\sqrt{2 \cos(x)\sin(x)}\mathrm{d}x J'ai tenté d'utilise...

Bonjour, Soit h(x)= \begin{cases} \frac{1-e^{-x}}{x} & \text{ si } x \neq 0 \\1 & \text{sinon}\end{cases} . On vérifie facilement que h est bien continue. Je cherche à trouver un équivalent simple de \int_{0}^{x}h(t)\sin(x-t) \mathrm{dt} quand x \to +\infty . J'ai ess...

(Enfin, du moins, sans passer par la dérivée seconde. Si l'on calcule la dérivée seconde, on voit bien que l'on a une fonction strictement convexe et c'est plié. Mais je me demande si l'on ne peut pas voir cela plus simplement....)

Salut, Il est clair que, lorsque le point M s'éloigne indéfiniment les distances MA et MB tendent toutes les deux vers l'infini donc le temps de parcours tend vers l'infini. Et vu que le calcul donne un unique point critique, ce dernier ne peut être que le minimum global de la fonction. Justement, ...

Bonjour, Je coince sur un exo a priori pas bien méchant (je pense que que j'ai dû passer à côté de quelque chose...) : Soient A(0,a) , B(b, -c) et M(x,0) des points de \mathbb{R}^2 (avec a,b,c >0 ). Un rayon lumineux parcourt la ligne brisée AMB à la vitesse v_1 de A à M et à...

En fait, dans mon exemple, on a même carrément |||D|||=1,7 : pour un vecteur x=(x_1,x_2) , on a \|Dx\|=0,9|x_1|+|0,9x_1+0,1x_2| \leq 0,9|x_1| + 0,8|x_1| + 0,1|x_1+x_2| par inégalité triangulaire, et donc \|Dx\| \leq 1,7 |x_1| + 1,7|x_1+x_2| = 1,7 \|x\| . On a donc |||D||| \leq 1,7 , et le po...

Bonjour, Tu es sûr de ton énoncé ? Il y a un résultat (classique) qui dit que si A est une matrice fixée, alors, pour tout \varepsilon >0 , on peut trouver une norme subordonnée ||| \cdot |||=||| \cdot |||_{A, \varepsilon} telle que |||A||| \leq r(A) + \varepsilon . La preuve est plus simple...

Ok, merci. Ca me rassure alors Le calcul diff n'étant pas trop mon fort, j'ai parfois tendance à sortir des raisonnements alambiqués pour écrire des choses simples, donc je préférais être sûr...

Merci. Effectivement, il manque un i dans mon expression, on a bien \overline{\partial} \phi = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} + i \frac{\partial \phi}{\partial y}\right) . En fait, en utilisant la "seconde méthode" (c'est en fait ça que j'appelais "règle d...

Bonjour, Pour \phi de classe \mathcal{C}^1 sur un ouvert U de \mathbb{C} , on note \overline{\partial} \phi = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \right) . Je cherche à montrer que si l'on passe en coordonnées polaires en posant z=(x,y&#...

Ok, merci beaucoup ! Effectivement, ça fait pas mal de calculs assez long à écrire si l'on veut tout écrire proprement, mais on y arrive... on vérifie facilement que : 0\!=\!b_0<b_1<b_2<b_3<. . . <F(0^+)\!=\!\frac{\pi}{2}\!=\!\int_0^{\infty}\!\frac{\sin(t)}{t}dt<. . .<a_3<a_2<a_1<a_0...

Comment trouves-tu que les maxima locaux de F_d sont ces points \theta_m ? Pour la dérivée, je trouve F_d'(\theta) = \sum_{k=1}^{d}{\cos(k \theta)} = \begin{cases} \frac{\sin \left( \frac{d\theta}{2} \right) \cos \left(\frac{d+1}{2}\theta\right)}{\sin(\theta/2...

Merci pour ta réponse. Le problème, c'est que la série ne converge a priori pas uniformément en \theta sur l'intervalle [0, 2 \pi] ... Pour calculer la somme de série, j'utilise la série de Fourier de la fonction impaire et 2 \pi- périodique définie par f(x)= \frac{\pi - x}{2} sur ]0, \pi] (...

Bonsoir, Pour un polynôme p(X) = \sum_{k=0}^{n}a_k X^k \in \mathbb{C}[X] , on définit ||p||_1 = \sum_{k=0}^n |a_k| et ||p||_{\infty} = \max \{ |p(z)| \: / \: |z| \leq 1 \} = \max \{ |p(z)| \: / \: |z| = 1 \} . On montre assez facilement (inégalité triangulaire) que ||p||_{\in...

Effectivement... merci beaucoup !

Merci pour ta réponse. Par contre, si c'est ça que l'on appelle "égalité de Parceval", je ne vois pas pourquoi cela implique la formule donnée pour ...