Minimiser une distance

[zwijndrecht]

Bonjour,

Je coince sur un exo a priori pas bien méchant (je pense que que j'ai dû passer à côté de quelque chose...) :

Soient , et des points de (avec ).
Un rayon lumineux parcourt la ligne brisée à la vitesse de A à M et à la vitesse de M à B.
On note et .
Montrer que le temps de parcours est minimal lorsque .

La correction proposée (et en fait, c'est aussi comme ça que j'avais commencé) est la suivante:

En notant le temps de parcours total, on a

En dérivant :


Et là, il est écrit que le temps est minimal si et seulement si la dérivée vaut 0, d'où le résultat...
Sauf que pour moi, ça prouve juste qu'il y a un extremum (local) lorsque cette égalité est vérifiée.
Si l'on peut montrer que cette égalité a lieu en un unique point, on peut conclure en disant que tend vers en , et que cet (unique) extremum local est donc un minimum... Mais je ne vois pas de justification évidente à cela....
Il y a aussi le critère de la dérivée seconde, mais là encore, je ne vois pas de manière "rapide" de justifier que la dérivée seconde est bien strictement positive en ce (ces ?) point(s).

Y-a-t-il un moyen "simple" de conclure, ou faut-il nécessairement se lancer dans une étude (a priori compliquée) de la dérivée seconde ?

Merci d'avance pour votre aide

[phyelec]

Bonjour,

faites le tableau de variation de votre fonction et vérifiez que l'extrémum trouvé est le minimum absolu.

[Ben314]

Salut,
Il est clair que, lorsque le point M s'éloigne indéfiniment les distances MA et MB tendent toutes les deux vers l'infini donc le temps de parcours tend vers l'infini. Et vu que le calcul donne un unique point critique, ce dernier ne peut être que le minimum global de la fonction.

[catamat]

Bonjour
On peut voir aussi que le minimum est atteint entre 0 et b, car en 0 la dérivée est strictement négative et en b elle est strictement positive.

[zwijndrecht]

Salut,
Il est clair que, lorsque le point M s'éloigne indéfiniment les distances MA et MB tendent toutes les deux vers l'infini donc le temps de parcours tend vers l'infini. Et vu que le calcul donne un unique point critique, ce dernier ne peut être que le minimum global de la fonction.

Justement, ce que j'ai du mal à voir, c'est que ce point critique est bien unique...

[zwijndrecht]

(Enfin, du moins, sans passer par la dérivée seconde. Si l'on calcule la dérivée seconde, on voit bien que l'on a une fonction strictement convexe et c'est plié. Mais je me demande si l'on ne peut pas voir cela plus simplement....)

[Ben314]

Il est aussi clair sur un dessin que, lorsque x varie de à , l'angle croit (de à ) et décroit (de à ) donc croit et elle s'annulle une unique fois.