Séries de Fourrier (coefficients de Fourrier d'un produit)

[zwijndrecht]

Bonjour,

Dans une preuve d'un théorème que j'étudie actuellement, il est écrit la chose suivante :

Soient ( désigne le cercle unité).
Alors, et donc, d'après l'égalité de Parceval, , pour tout .

Je ne comprends pas pourquoi on a le droit d'utiliser Parceval (qui dirait ici que (où est la base canonique de ) alors qu'a priori, rien ne garantit que ... Pour et pour , ok, mais pour , j'ai un gros doute... Le fait d'être dans est-il suffisant ?

Merci d'avance pour votre aide !

[Ben314]

Salut,
Le problème, comme toujours lorsque l'on attribue des nom propres à des théorèmes, c'est de savoir ce que c'est que "l'égalité de Parseval".
Si tu regarde là :
https://www.imo.universite-paris-saclay ... ourier.pdf
Le corollaire 6.2. (page 17) parle d'une "identité de Parseval" qui me semble bien correspondre à ce qui esr utilisé dans ta preuve.
Et les conditions donnée, pour avoir cette "identité de Parseval", c'est que les deux fonctions soient dans L2, ce qui est bien le cas dans ta preuve.

[zwijndrecht]

Merci pour ta réponse. Par contre, si c'est ça que l'on appelle "égalité de Parceval", je ne vois pas pourquoi cela implique la formule donnée pour ...

[Ben314]

Ben... c'est immédiat :

et tu applique l'identité de Parseval avec (donc ) qui donne
avec

[zwijndrecht]

Effectivement... merci beaucoup !