Nombre complexe

[Scott]

Bonjours a tous j'aurais besoin de votre aide si vous voulez bien m'aider

Je bloque sur un exercice de mon DM

Voici l'énoncé:

Pour tout nombre complexe Z, on considère f(Z) = Z^4 - 10Z^3 + 38Z² - 90Z + 261

1.1) Soit u un nombre réel. Exprimer en fonction de u les parties réelle et imaginaire de f(iu). En déduire que l'équation f(Z)=0 admet deux nombres imaginaires purs comme solutions

1.2) Montrer qu'il existe deux nombres réels i et j, que l'on déterminera, tels que, pour tout nombre complexe Z, f(Z) = (Z² + 9)(Z²+iZ+j)

1.3) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexe l'équation f(Z)=0



ce que j'ai fait:

1.1) Quand je calcule f(iu) ça donne ça : iu^4 -10 iu^3 +38iu² -90iu +261 ?

1.2) Quand je développe ça fait : Z^4 +iZ^3 + jZ² + 9iZ + 9j ?

1.3) Z²= 9 <==> Z= -3 ou Z= 3
Z² + iZ + j = 0 <==> Z² = -iZ - j, et je suis pas sure après !


Je voudrais savoir si vous pouviez me donner quelque piste pour les questions si vous avez le temps
Merci d'avance et bonne soirée

[annick]

Bonjour,
déjà pour la première question, je pense que tu as fait une erreur.

En effet, nous avons f(Z) avec Z=iu.

Quand tu as Z^4, cela donne (iu)^4 donc i^4u^4, soit (i²)²u^4=(-1)²u^4=u^4.

De même pour les termes suivants.

Ensuite, il faudra que tu regroupes les parties réelles et les parties imaginaires pour répondre à la question posée.

Ensuite, pour la question 1.2, il me semble que tu as oublié le terme 9Z². Puis tu dois comparer tes deux expressions pour trouver i et j.

Pour la 1.3, tu as Z²+9=0 donc Z²=-9=9i² donc les solutions ne sont pas celles que tu donnes.
Et pour l'autre expression, d'abord tu remplaces par le i et le j trouvés puis tu résous une équation du second degré avec delta et tout et tout.

[siger]

Bonjour,

1
la valeur que tu trouves (?) pour f(iu) est fausse
il faut calculer les puissances de (iu) et non de u êt multiplier par i (i² = -1, i³= -i, i^4 = 1)
f(iu) = u^4 +i*(10u)^3 -38u² -i*90u +261

2-
remarque: pour eviter les confusions il vaut mieux utiliser a et b plutot que i et j

il faut developper (z²+9)*(z²+az+b) et identifier avec la valeur donnée au debut pout trouver a et b

[Scott]

Donc on obtient ça ?

u^4 - 10*i*u^3 -38u - 90iu +261 ?

[annick]

Quelques erreurs :

+10u^3

-38u²

[Scott]

D'accord donc on a u^4 +10iu^3 -38u²+261
Donc on doit trouver les parties réelle et imaginaire : Partie imaginaire 10 ? et partie réelle je sais pas si c'est -38 ou 1 ?

[annick]

Bonjour,

1
la valeur que tu trouves (?) pour f(iu) est fausse
il faut calculer les puissances de (iu) et non de u êt multiplier par i (i² = -1, i³= -i, i^4 = 1)
f(iu) = u^4 +i*(10u)^3 -38u² -i*90u +261

2-
remarque: pour eviter les confusions il vaut mieux utiliser a et b plutot que i et j

il faut developper (z²+9)*(z²+az+b) et identifier avec la valeur donnée au debut pout trouver a et b

Il y a une erreur, Siger, le 10 du terme en u^3 n'est pas au cube

[annick]

On a donc :

f(iu) = u^4 +10iu^3 -38u² -90iu +261

Ce qui donne

f(iu)= u^4-38u²+261 +10iu(u²-9)

[Scott]

D'accord je crois que je vois la partie réelle est u^4 -38u² + 261
et l'imaginaire est 10u^3-90u ?

[annick]

Oui, c'est cela.

[Scott]

D'accord :) et après je sais pas comment faire avec f(iu) = 0

J'en suis la : je prends la partie réelle: u^4 - 38 u² +261=0 mais la je bloque

[annick]

Il faut que les parties réelles et imaginaires soient nulles.
Pour la partie imaginaire, c'est plutôt facile. Si en plus ça annule la partie réelle, c'est parfait !

[Scott]

Je comprends pas :/

Pour la 1.2 je trouve i = -10 et j =29

Pour la 1.3 je trouve 5+2i et 5-2i

[Scott]

C'est bon merci beaucoup de m'avoir aidé sur votre temps j'ai compris :)
Bonne soirée :)

[siger]

re

f(iu)= u^4 - 38u^2 + 261 + 10 iu( u^ 2 - 9) = (u^2- 9)*(u^2 - 29 + 10iu)
......
ce qui conduit sauf erreur a f(iu) =0 pour z= 3, z= -3, z= 5i -2 et z= 5i + 2

[siger]

re

ne pas oublier Z^ 2+9 dans les réponses

sauf erreur je trouve -3i, 3i, 5i +2 et 5i -2