Sous espace vectoriel / Matrice / Système lineraire

[l13003145]

Tout d'abord bonjour,
Je suis en IUT et je vais avoir partiel sur cet ensemble de chapitre : Système linéaires , Sous espace vectoriel et matrice.
J'ai besoin que vous m'aidiez pour les méthodes de résolution des différent point clef de ces chapitres, car il nous ont mal été developpé en cours et je n'y arrive pas.

1. Sous espace vectoriel : Comment montrer qu'un ensemble fait partie d'un sous espace vectoriel ? ( Prenez un exemple car on a un cas général que je n'arrive pas a appliquer ) qui est celui -ci :

Soit U le sous espace vectoriel de Rn défini par : U (x1 , x2 ... xn) appartenant a Rn tel que a1x1+a2x2 ... anxn = 0 alors U est non vide et stable par combinaison linéaire. J'ai aussi un exemple mais je ne vois pas comment on utilise cette généralisation pour prouver qu'un ensemble appartient a un sous espace vectoriel.
Eventuellement en exercice j'ai rencontrer un cas comme celui - ci : D = {x,y) appartenant a R² / 2x+5 = 0 .

2. Sous espace vectoriel : Comment déterminer une base ( exemple avec l'exercice ci dessus ).

==> Ce morceau d'exercice faisant parties d'une suite d'exercice de revision qui n'ont jamais été corriger ... et dont ces deux questions restent un mystère pour moi.

3. Matrice : Comment determiner les valeurs et vecteurs propre d'une matrice ?
On a eu un exemple avec une matrice carrée A = (5 -2 avec cette méthode :
------------------------------------------------4 -1 )
det (A-lambda I ) = 0 equivalent a Pa(lambda) = 0
Pa(lambda) = det (A-lambdaI ) = 5-lambda -2
--------------------------------4 -1-lambda
Ceci étant égal a (5-lambda)(1+lambda)+8 = lambda²-4lambda + 3
Les racine de ce polynome étant ( lambda - 1 ) ( lambda - 3 )
Les valeur propre sont donc 1 et 3.

Av=lambdav si lambda = 1
(AI)v = 0 equivalent a (4 -2 (x1 = (0
-----------------------4 -2 ) x2 )---- 0)
equivalent au systeme : { 4x1 - 2x2 = 0
------------------------{ 4x1 - 2x2 = 0
Ce système conduit a x1 = 1/2x2
Vecteur propres 1 = (1/2 1 ) <-- je ne sais pas pourquoi ? le 1/2 ok mais le 1 ....

si lambda = 3
(A-3I)v = 0 équivalent a (2 -2 (x1 = ( 0
------------------------4 -4) x2)-----0 )
equivalent a 2x1 - 2x2 = 0 équivalent a x1 - x2 = 0 equivalent a x1 = x2
v (x1 = x2 (1 implique vecteur propres 2 = V2 = (1 1 ) <-- Pourquoi ?
---x2)------1)

Donc le problème est qu'il y a certains point que je ne comprend pas trop avec cet exemple certes mais alors dès que ce sont des matrices plus grande c'est la cata ... donc si quelqu'un peut me reexpliqué la méthode avec un exemple simple et plus complexe je ne dirais pas non.

Merci d'avance de votre aide, j'espère que ma requête est claire et ne va pas a l'encontre de la charte du site, car en effet je ne demande pas les réponses d'un DM mais des clef de résolution afin de reussir mon partiel car je n'ai pas les maths infus et j'ai du mal dans cette matière.