Equa diff 2ème ordre

[crocopik]

Bonjour !
Voilà je dois résoudre f ' ' (x) + f(-x) = x
Mais je n'arrive pas à me débarasser du -x afin de résoudre l'équation
Sinon le reste je sais faire, merci :)

[Black Jack]

Si l'ensemble de définition de f est R, toute fonction f : R--> R peut se décomposer de façon unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

f(x) = p(x) + i(x) avec p une fonction paire et i une fonction impaire.

p(x) = p(-x)
i(x) = - i(-x)

f'(x) = p'(x) + i'(x)
f'(x) = -p'(-x) + i'(-x)

f''(x) = p''(x) + i''(x)
f''(x) = p''(-x) - i''(-x)

p''(x) + i''(x) + p(-x) + i(-x) = x

p''(x) + i''(x) + p(x) - i(x) = x

p''(x) + p(x) + i''(x) - i(x) = x

Et donc f est impaire (puisque x est impaire) ---> f(x) = -f(-x)

L'équation de départ devient donc : f''(x) - f(x) = x ... en se rappelant que f doit être impaire.

Les solutions de f''(x) - f(x) = x sont f(x) = -x + A.e^x + B.e^-x

Et en forçant f impaire, soit donc en cherchant la relation liant A et B pour que f(x) = -f(-x), on arrive à A = -B

On a donc : f(x) = -x + A.(e^x - e^-x), soit si on préfère : f(x) = -x + C.sh(x) avec C une constante réelle.
*****
Sauf si je me suis planté.

Le tout à vérifier et compléter bien entendu.

:zen:

[lionel52]

Bonjour !
Voilà je dois résoudre f ' ' (x) + f(-x) = x
Mais je n'arrive pas à me débarasser du -x afin de résoudre l'équation
Sinon le reste je sais faire, merci

si tu dérives 2 fois
f''''(x) + f''(-x) = 0
f''''(x) + (-x-f(x)) = 0
f''''(x) - f(x) = x

Alors f(x) = -x + A.exp(x) + B.exp(-x) + C.exp(ix) + D.exp(-ix)

Et réciproquement...

[Black Jack]

J'ai loupé une partie de la réponse. (la partie paire).

Au final on devrait arriver à :

f(x) = -x + C1.sh(x) + C2.cos(x)
Avec C1 et C2 des constante réelles.

:zen:

[chan79]

salut

on peut poser g(x)=f(x)+f(-x)
en dérivant deux fois g''(x)=-g(x)
donc g(x)=k cos x+k'sin x
comme g(-x)=g(x) on a g(x)=k cos x
de même
h(x)=f(x)-f(-x)
on trouve h''(x)=2x+h(x)
h''(x)-h(x)=2x
on arrive à h(x)=a -a -2x (car h(0)=0)
f(x)=(g(x)+h(x))/2

et finalement f(x)=-x+k sh(x)+k' cos(x)
ça ne doit pas différer beaucoup de ce qu'a fait Black Jack, finalement ... :zen:

[crocopik]

Merci beaucoup.

J'arrive à trouver la solution de l'équation homogène y = C1e^(x) + C2e^(-x)
Mais pour la solution particulière je bute...

[Ben314]

J'arrive à trouver la solution de l'équation homogène y = C1e^(x) + C2e^(-x)
Mais pour la solution particulière je bute...

L'équation homogène associée à quoi ???

[crocopik]

L'équation homogène associée à f''(x) - f(x) = 0. Mais je dois résoudre f''(x) - f(x) = x

[chan79]

L'équation homogène associée à f''(x) - f(x) = 0. Mais je dois résoudre f''(x) - f(x) = x

f(x)=-x convient puisque f''=0

[Ben314]

TU attaque un nouvel exercice ?

Sinon, je comprend pas bien comment tu passe de l'équation de départ

f"(x) + f(-x) = x

(qui n'est pas une équation différentielle) à l'équa.diff. f"(x)-f(x)=x ?

Ou alors tu suit la méthode du premier post de Black Jack, mais je te signale que, 2 post plus loin, il signale qu'il s'est un peu gourré...

[crocopik]

J'ai loupé une partie de la réponse. (la partie paire).

Au final on devrait arriver à :

f(x) = -x + C1.sh(x) + C2.cos(x)
Avec C1 et C2 des constante réelles.

:zen:

Merci, donc j'ai refait ton raisonnement et j'ai compris sauf... que veux-tu dire par : la partie paire de la réponse ?

Et pourquoi trouve tu un " -x " ? Je ne trouve que f(x) = C1sh(x)

[Black Jack]

Fais comme proposé par d'autres :

f'' (x) + f(-x) = x (Qui donne aussi : f'' (-x) + f(x) = -x ---> f'' (-x) = -x-f(x) (1) )

si tu dérives 2 fois
f''''(x) + f''(-x) = 0 et avec (1) --->
f''''(x) + (-x-f(x)) = 0
f''''(x) - f(x) = x

Solutions de f''''(x) - f(x) = 0
r^4 - 1 = 0
---> r= 1 ; r = -1, r = i et r = -i

---> f(x) = A.exp(x) + B.exp(-x) + C.exp(ix) + D.exp(-ix)
*****
Solution particulière de f''''(x) - f(x) = x

f(x) = -x
*****
Solutions générales de f''''(x) - f(x) = x :

f(x) = -x + A.exp(x) + B.exp(-x) + C.exp(ix) + D.exp(-ix)

Mais les dérivées successives du début ont donné trop de degrés de liberté, (ce qui correspond ici à 4 constantes), il faut donc repartir de la solution, et la remettre dans l'équation initiale pour définir certaines des constantes.

f(x) = -x + A.exp(x) + B.exp(-x) + C.exp(ix) + D.exp(-ix)

f''(x) = A.exp(x) + B.exp(-x) - C.exp(ix) - D.exp(-ix)

f'' (x) + f(-x) = A.exp(x) + B.exp(-x) - C.exp(ix) - D.exp(-ix) + x + A.exp(-x) + B.exp(x) + C.exp(-ix) + D.exp(ix)

f'' (x) + f(-x) = x + (A+B).(exp(x)+exp(-x)) + (D-C).(exp(ix)+exp(-ix))

Or, il faut : f'' (x) + f(-x) = x ---> A=-B et C = D

Et donc : f(x) = -x + A.exp(x) - A.exp(-x) + C.exp(ix) + D.exp(-ix)

f(x) = -x + A.(exp(x) - exp(-x)) + C.(exp(ix) + exp(-ix))

Et en posant A = C1/2 et C = C1/2 ---> f(x) = -x + C1.(exp(x) - exp(-x))/2 + C2.(exp(ix) + exp(-ix))/2

f(x) = -x + C1.sh(x) + C2.cos(x)
*****
:zen:

[Ben314]

Sinon, ce que tu avais fait, c'était quasi bon aussi (et c'est quasi la même chose que chan).
Arrivé là :

p''(x) + p(x) + i''(x) - i(x) = x

tu constate que p étant paire, p' est impaire donc p" est paire ainsi que p"+p. De même i"-i est impaire.
Et tu utilise l'unicité de la décomposition en une paire + une impaire pour en déduire que :
p''(x) + p(x) =0
i''(x) - i(x) = x
puis tu résout les 2 équadiff.

Perso, le truc qui me serait venu à l'esprit en premier, c'était la méthode de lionel, mais je trouve que ta méthode (ou celle de chan vu que c'est le même principe) est mieux vu qu'elle procède par équivalence.

[Black Jack]

Sinon, ce que tu avais fait, c'était quasi bon aussi (et c'est quasi la même chose que chan).
Arrivé là :tu constate que p étant paire, p' est impaire donc p" est paire ainsi que p"+p. De même i"-i est impaire.
Et tu utilise l'unicité de la décomposition en une paire + une impaire pour en déduire que :
p''(x) + p(x) =0
i''(x) - i(x) = x
puis tu résout les 2 équadiff.

Perso, le truc qui me serait venu à l'esprit en premier, c'était la méthode de lionel, mais je trouve que ta méthode (ou celle de chan vu que c'est le même principe) est mieux vu qu'elle procède par équivalence.

Oui, j'aime bien la méthode ...
A condition de ne pas oublier, comme moi au début, de traiter le p''(x) + p(x) =0

:zen: