Une autre equa diff linéaire du 2nd ordre de forme particulière

par **lyrah** » 18 Mai 2006, 13:35

Bonjour, j'ai encor besoin de votre aide :happy2:

y" - 2y' + y = (x² + 1) exp(-x)

Ma 1ère étape donne

une solution double ce ui me fait

y = (Ax + B) exp(x)

et la seconde étape donne

y = (1/3)x² + (32/3)x +(532/3)

donc la solution complète est

y = (Ax + B) exp(x) + (1/3)x² + (32/3)x +(532/3)

est ce que c'est juste?

par **mln** » 18 Mai 2006, 13:58

ta solution de l'équation homogène (ta première étape) est bonne.
ta solution particulière (ta 2eme étape) est fausse.
( je trouve yp(x) = (1/4*x² + 1/2*x + 5/8)*exp(-x) )

Pour vérifier si ta solution est bonne, il suffit de vérifier si ta solution vérifie l'équation.

Bon courage

par **lyrah** » 18 Mai 2006, 16:47

après verification j'ai trouvé par contre cette equation je ne sais pas si c'est moi qui a faux ou non

Pour la solution particulière

y= [(1/4)x² + (1/2) x + (5/2)] exp(-x)

alors que mln a trouver 5/8 au lieux de 5/2 alors lequel est juste merci

par **fonfon** » 18 Mai 2006, 17:07

Salut, c'est mln qui a raison car quand tu remplaces sa solution dans m'equation tu obtiens bien

A+

par **lyrah** » 18 Mai 2006, 17:24

je dois chercher y de cette forme

y = (ax² + bx + c) exp(-x)

ce qui me donne

y'= exp(-x) [-ax² + x(2a -b) + b - c)] et

y" = exp(-x) [ ax² + x( b - 4a) + 2a - 2b + c]

et si je remplace je trouve

4ax² +x(4b -8a) + 2a - 4b + 4c = x² +1

a = 1/4
b = 1/2
c = 5/2

c'est où mon erreur en fait?

par **fonfon** » 18 Mai 2006, 17:55

Re,

je trouve pareil

donc en identifiant on a:

je pense que tu fais une erreur en reduisant au même denominateur

A+

par **lyrah** » 18 Mai 2006, 18:15

merci beaucoup!! :ptdr: :ptdr: j'ai vu où je me suis trompée!!

par **lyrah** » 18 Mai 2006, 18:22

voici une autre mais je suis bloqué car j'arrive pas à trouver les 2 autres inconnues

y" - 2y' +y =(x²+1)exp(x)

Pour la 1ère étape il n'y a pas de souci mais pour trouver la solution particulière je suis coincée. Je cherche

y=(ax^4 +bx^3 +cx² + dx + e) exp(x)
ce qui me donne
y' = exp(x) [ax^4 +x^3(4a +b)+ x² (3b + c) +x( 2c + d) +d + e]

et qd j'ai remplacé j'ai trouvé
a= 1/2
b=0
mais après je me trouve avec

2c - e =1

c'est pas possible n'est ce pas? :hum:

par **fonfon** » 18 Mai 2006, 18:50

Re, pourquoi tu poses

alors que tu as

le polynôme est de degré 2 donc...

par **lyrah** » 18 Mai 2006, 18:55

je pose y =(ax^4 +bx^3 +cx² + dx + e) exp(x)

car on a un second membre particulier qui est de la forme
S(x) = P(x) exp(Ax)

et que si A est une solution double de ar²+br+c=0 alors

d°(Q) = d°(P)+2 et comme nous avons P second degré donc Q est de degré 4 non? c'est qui est ds le cours

par **mln** » 18 Mai 2006, 19:10

Pas la peine de chercher tes coef d et e puisque
pour tout réel d et e tels que y(x)=(dx+e)exp(x), on a y"-2y'+1=0

cherche une solution particulière de la forme
yp(x) = (ax^4 + bx^3 +cx^2)exp(x)

Bon courage.

Lyrah tu as du te tromper quand tu remplaces
Si tu poses yp(x) = (ax^4 + bx^3 +cx^2 + dx +e)exp(x) dans y"-2y'+1=(x²-1)exp(x), tes coef d et e doivent disparaitre.

par **fonfon** » 18 Mai 2006, 19:11

Re, oui je me suis planté autant pour moi :briques:

par **lyrah** » 18 Mai 2006, 19:17

Pas grave tout le monde peut se tromper!

mais j'ai pas très bien compris comment tu fais pour trouver que pour tout réel

d et e tels que y(x)=(dx+e)exp(x),

on a y"-2y'+1=0

est ce que tu peux me montrer la demo stp car j'ai pas compris merci

par **mln** » 18 Mai 2006, 19:21

y = (dx+e)exp(x) est solution de l'équation y"-2y+1=0 c'est ta première étape. (ta solution homogène)

Par contre, tu as du te tromper quand tu remplaces
Si tu poses yp(x) = (ax^4 + bx^3 +cx^2 + dx +e)exp(x)
dans y"-2y'+1=(x²-1)exp(x)
Les coef d et e doivent disparaitre.
Or tu obtiens 2c - e =1?

Bon courage

par **lyrah** » 18 Mai 2006, 19:32

je suis d'accord pour la solution homogène car j'ia trouvé pareil

Mais pour la solution particulière je dois cherche

y =(ax^4 +bx^3 +cx² + dx + e) exp(x) ce qui me donne

y' = exp(x) [ax^4 +x^3(4a +b)+ x² (3b + c) +x( 2c + d) +d + e] et enfin

y" = exp(x) [ax^4 + x^3( 8a + b) + x²(12a + 6b +c) + x(6b + 4c +d) + 2c + 2d +e]

alors si je remplace tout ça il me reste plus que

exp(x) (12ax² + 6bx + 2c - e)

je dois surement me tromper quelque part mais j'ai refait le calcul plein de fois mais je retombe pareil

par **mln** » 18 Mai 2006, 19:56

tes dérivées sont bonnes, c'est dans la somme que tu as du te tromper
(e-2e+e=0).

Si tu poses yp(x) = (ax^4 + bx^3 +cx^2 + dx +e)exp(x)
alors yp(x) = (ax^4 + bx^3 +cx^2)exp(x) + (dx +e)exp(x)
Si on pose y1(x) = (ax^4 + bx^3 +cx^2)exp(x)
et y2(x) = (dx +e)exp(x)
on a yp = y1 + y2
or y2"-2*y2'+y2 = 0 (tu l'as démontrer dans ta première étape)
donc yp"-2*yp'+yp = y1"-2*y1'+y1 + y2"-2*y2'+y2 = y1"-2*y1'+y1

donc, autant chercher yp sous la forme y1, ca simplifie les calculs.

J'espère que ca pourra t'aider.
Bon courage

par **lyrah** » 18 Mai 2006, 20:10

est ce qu'on trouve comme solution particulière

y = [(1/12)x^4 +(1/2)] exp(x)]

je ne suis pas du tout sur c'est juste ou non car qd j'ai refait les calcul je tombe sur

exp(x) ( 8a x^3 + 12a x² + 6b x + 2c ) = (x² + 1) exp(x)

par **mln** » 18 Mai 2006, 20:27

Normalement, tu dois arriver à :
(12ax²+6bx+2c)exp(x) = (x²+1)exp(x)

le terme en x^3 est nul : b- 2*(4a +b) + 8a + b = 0.
Bon courage

par **lyrah** » 18 Mai 2006, 20:42

merci merci encore!!! vous m'avez beaucoup aidez!! :ptdr: :ptdr: :ptdr:

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