Equa diff' linéaire d'ordre 2

[Dr.hather]

voici l'équation :

x²y'' + xy' - y = x * ln (x)

dans un premier temps je tente de résoudre l'équation sans 2e membre c-à-d :

x²y'' + xy' - y = 0

j'ai l'impression qu'il y a une astuce que je dois utiliser car avec la méthode de mon cours je coince.
en manipulant un peu la 2e équation on arrive à :

y'' + ( y / x )' = 0

comment puis-je simplifier cela ?

ou sinon quelle méthode utiliser ?

[JJa]

x²y'' + xy' - y = 0
y=x^k
y'=k x^(k-1)
y''=k(k-1) x^(k-2)
x²y'' + xy' - y = (k(k-1)+k-1)x^k = 0
k²-1 = 0
k = +1 ou -1
y = A*x+(B/x)
A, B : constantes
.
x²y'' + xy' - y = x * ln (x)
y = A(x)*x
y' = A'x+A
y'' = A''x+2A'
x²y'' + xy' - y = A'' x^3 +3A'x² = x*ln(x)
(A' x^3)' = x*ln(x)
A' x^3 = (1/2)x²ln(x)-(1/4)x²+C
A' = (1/2)ln(x)/x-(1/(4x))+C/x^3
A = (1/4)(ln(x))²-(1/4)ln(x)+C1/x²+C2
C1=-C/2
y = (x/4)(ln(x))²-(x/4)ln(x)+C1/x+x*C2
C1, C2 : constantes

[Dr.hather]

simple et efficace.
Merci.