Equa diff linéaire du 2nd ordre de forme particulière

[lyrah]

bonjour, voici une autre equation avec le second membre de forme particulière

y" - 4y = sin (2x)

Voici ma 1ère etape

y = A exp(-2x) + B exp(2x)

la seconde étape c'est que je dois chercher y de la fomre suivante

y = k1 sin (2x) + k2 cos(2x)

ce qui me fait

y' = sin(2x) [ k1' - 2 k2 ] + cos (2x) [ 2 k1 + k2']

et

y" = sin(2x) [k1" - 4k2' - 4k1] + cos (2x) [4k1' - 2k2 + k2" ]

est ce que jusque là j'ai bon?

[le fouineur]

Bonsoir lyrah,

Pour employer le langage mathématique approprié il faut dire équation différentielle linéaire du second ordre:en effet les deu équations que tu as
proposé sont du premier degré par rapport ày et chacune de ses dérivées.


Ceci dit ,tu as trouvé la bonne solution pour l'équation associée sans second membre mais ta méthode de dérivation pour sin(2*x) est incorrecte:en effet
les coéfficients K1 et K2 sont des constantes dont la dérivée est nulle.

Il te faut donc revoir la formule de dérivation d' une fonction composée.

[lyrah]

donc si j'ai bien compris

y' = 2k1 cos(2x) - 2k2 sin(2x)

et

y" -4 k1 sin(2x) - 4k2 cos(2x)

et la solution donne

y = -(1/8) sin(2x)

est ce que c'est juste?

[le fouineur]

Bravo,tu as trouvé!!

[lyrah]

merci beaucoup

et pour celle là je dois trouver B mais je ne sais pas comment faire car on a trouver 2 solution complexe conjugués

y" + 2y' + 5y = 4 exp(x)

la 1ère étape donne les solution suivantes

r1 = -1 - 2i ; et r2 = -1 + 2i

donc y = exp(-x) ( k1 sin(Bx) + k2 cos (Bx)) est ce exact?

car la 2nd étape me donne

y = (1/2) exp(x)

[le fouineur]

oui,c' est bon avec B=2

Pour trouver B il faut appliquer les formules suivantes:

pour un polynôme caractéristique de la forme: a*r^2+b*r+c ,les solutions
sont de la forme:

y=exp[(-b/2*a)*x]*[A*cos[Sqr(-delta)/2*a*x]+B*sin[Sqr(-delta)/2*a*x]]

pour trouver Sqr(-delta),rien de plus simple:delta=b^2-4*a*c=2^2-4*1*5
= 4-20=-16
d' oû Sqr(-delta)=4,ensuite ça va tout seul....

[lyrah]

mais comment tu as trouvé B?

[le fouineur]

J'ai complété mon message(voir message#6)

[lyrah]

merci beaucoup!!!!!!! :ptdr: :ptdr: :ptdr: